Какова площадь треугольника, если AC равно 8 и угол B составляет 60 градусов?

Артём

46

Хорошо, давайте решим данную задачу. Для начала нам необходимо знать формулу для вычисления площади треугольника. В данном случае используем формулу S = (1/2) * a * b * sin(C), где a и b – длины сторон треугольника, а C – угол между этими сторонами.

В нашей задаче имеется треугольник ABC, где сторона AC равна 8 и угол B составляет 60 градусов. Для удобства обозначим сторону AB как a и сторону BC как b.

Теперь приходим к пошаговому решению:

Шаг 1: Находим сторону AB.
Поскольку угол B равен 60 градусам, обозначим сторону AB как a. Теперь нам необходимо использовать тригонометрический закон синусов для определения длины стороны AB.
Согласно закону синусов, отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника.
\( \frac{a}{\sin(60^\circ)} = \frac{8}{\sin(C)} \)

Так как мы не знаем угол С, давайте воспользуемся тем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Тогда угол C равен 180 - 60 - 90 = 30 градусов.
\( \frac{a}{\sin(60^\circ)} = \frac{8}{\sin(30^\circ)} \)

Теперь найдем значение синуса 60 градусов и синуса 30 градусов:
\( \sin(60^\circ) \approx 0.866 \) и \( \sin(30^\circ) = 0.5 \).

Подставим значения в уравнение:
\( \frac{a}{0.866} = \frac{8}{0.5} \)
Теперь найдем значение стороны AB:
\( a = \frac{0.866 \times 8}{0.5} \approx 13.856 \)

Таким образом, сторона AB равна примерно 13.856.

Шаг 2: Находим площадь треугольника.
Теперь, когда мы знаем длины всех трех сторон треугольника, можем использовать формулу для вычисления площади треугольника:
\( S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \)

В данном случае:
\[ S = \frac{1}{2} \times 8 \times 13.856 \times \sin(30^\circ) \]

Подставляем значения и решаем уравнение:
\[ S = 0.5 \times 8 \times 13.856 \times 0.5 = 34.64 \]

Таким образом, площадь треугольника составляет 34.64.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять, как был получен ответ. Если у вас возникнут еще вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, сообщите мне.