Какова площадь треугольника, если в нем две стороны равны 12 и 8 см, а угол между ними составляет 60 градусов?

Иванович

17

Чтобы найти площадь треугольника, нам понадобится знать длины двух его сторон и меру угла между этими сторонами. В данной задаче, у нас уже известны две стороны треугольника - 12 и 8 см, а также угол между ними - 60 градусов.

Для начала, давайте обозначим эти стороны и углы треугольника. Пусть АВ будет сторона треугольника длиной 12 см, ВС - сторона длиной 8 см, а угол АВС - 60 градусов. Теперь мы можем применить формулу для вычисления площади треугольника.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона для треугольника:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где S - площадь треугольника, а, b и c - длины его сторон, а p - полупериметр треугольника, который можно найти, сложив все стороны и разделив на 2:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

В нашем случае, имеем значения:
a = 12 см
b = 8 см

Теперь найдем полупериметр:

\[p = \frac{12 + 8 + c}{2}\]

\[p = \frac{20 + c}{2}\]

\[p = 10 + \frac{c}{2}\]

Теперь выразим c из угла треугольника:

\[\cos (\angle C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

Подставим известные значения:

\[\cos(60^\circ) = \frac{12^2 + 8^2 - c^2}{2 \cdot 12 \cdot 8}\]

\[\frac{1}{2} = \frac{144 + 64 - c^2}{192}\]

Упростим:

\[96 = 208 - c^2\]

\[c^2 = 208 - 96\]

\[c^2 = 112\]

\[c = \sqrt{112}\]

\[c \approx 10.59\]

Теперь у нас есть значения всех сторон треугольника, а именно: a = 12 см, b = 8 см и c ≈ 10.59 см. Мы также можем найти полупериметр треугольника:

\[p = 10 + \frac{c}{2} = 10 + \frac{10.59}{2} \approx 15.29\]

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника и воспользоваться формулой Герона:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{15.29(15.29 - 12)(15.29 - 8)(15.29 - 10.59)} \approx 27.71 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь треугольника равна около 27.71 квадратных сантиметров.