Какова площадь треугольника, который образуется осью абсцисс и двумя касательными, проведёнными из данной точки

Игоревна_3436

67

Хорошо, давайте решим эту задачу. Для начала, мы имеем функцию \(f(x) = 5 - x + \frac{{x^2}}{2}\), и нам нужно найти площадь треугольника, который образуется осью абсцисс и двумя касательными, проведёнными из данной точки к графику функции.

Чтобы найти точки касания касательных с графиком функции, нам сначала нужно найти производную данной функции. Обозначим её как \(f"(x)\). Производная функции \(f(x)\) будет равна производной каждого слагаемого в функции. Так что давайте найдём производную поочерёдно для каждого слагаемого:

- Производная константы 5 будет равна нулю, так как производная постоянной равна нулю: \(0\);
- Производная функции \(-x\) будет равна \(-1\), так как производная линейной функции \(ax\) равна коэффициенту \(a\), и \(a = -1\) в данном случае;
- Производная \(\frac{{x^2}}{2}\) будет равна \(x\), так как производная функции \(\frac{{ax^2}}{2}\) равна \(ax\), и \(a = 1\) в данном случае, следовательно, \(a = 1 \times x = x\).

Теперь найдём производную \(f"(x)\) сложив производные каждого слагаемого: \(0 + (-1) + x = -1 + x\).

Точки касания касательных с графиком функции будут лежать в местах, где производная равна нулю. Поэтому нам нужно найти корни уравнения \(f"(x) = -1 + x = 0\).

Чтобы решить уравнение, приравняем \(f"(x)\) к нулю:

\[-1 + x = 0\]

Теперь добавим единицу к обеим сторонам уравнения:

\[x = 1\]

Таким образом, получаем точку касания касательной с графиком функции при \(x = 1\). Обозначим эту точку как \(A(1, f(1))\).

Для нахождения другой точки касания, мы можем использовать только первую производную \(f"(x)\). Возьмём её значение в точке \(x = 1\). Подставим это значение в \(f"(x)\):

\(f"(1) = -1 + 1 = 0\)

Таким образом, при \(x = 1\) у фUNCТО графика функции имеется горизонтальная касательная.

Теперь мы можем найти значение функции \(f(x)\) в точке \(x = 1\). Подставим \(x = 1\) в \(f(x)\):

\(f(1) = 5 - 1 + \frac{{1^2}}{2} = 5 - 1 + \frac{1}{2} = 5 - 1 + 0.5 = 4.5\)

Таким образом, мы нашли координаты второй точки касания: \(B(1, 4.5)\).

Теперь мы можем найти высоту треугольника, которая будет равна разности функций в точках \(A\) и \(B\). Подставим координаты точек \(A\) и \(B\) в функцию \(f(x)\):

\[h = f(1) - 0 = 4.5 - 0 = 4.5\]

Таким образом, высота треугольника равна \(4.5\).

Теперь, чтобы найти основание треугольника (длину оси абсцисс), мы должны найти корни функции \(f(x)\):

\[f(x) = 0\]

\[5 - x + \frac{{x^2}}{2} = 0\]

Это уравнение квадратного типа. Для его решения, мы можем использовать квадратное уравнение:

\[\frac{{x^2}}{2} - x + 5 = 0\]

Теперь используем квадратную формулу \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\), где у нас \(a = \frac{1}{2}\), \(b = -1\) и \(c = 5\).

\[x = \frac{{-(-1) \pm \sqrt{{(-1)^2 - 4 \times \frac{1}{2} \times 5}}}}{{2 \times \frac{1}{2}}}\]

\[x = \frac{{1 \pm \sqrt{{1 - 10}}}}{1}\]

\[x = \frac{{1 \pm \sqrt{{-9}}}}{1}\]

\[x = \frac{{1 \pm 3i}}{{1}}\]

Таким образом, получаем комплексные значения корней уравнения. Из этого следует, что треугольник не имеет основания (длины оси абсцисс) на данном интервале точок касания касательных.

Теперь, когда у нас есть высота \(h\) и отсутствует основание, находим площадь равнобедренного треугольника, используя формулу:

\[S = \frac{{1}}{{2}} \times \text{{основание}} \times \text{{высота}} = \frac{{1}}{{2}} \times 0 \times 4.5 = 0\]

Таким образом, площадь треугольника равна \(0\).