Какова площадь верхнего основания усеченного конуса, у которого высота равна 12 см, радиус нижнего основания равен

Letuchaya_Mysh

23

Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые формулы и концепции о геометрических фигурах. Перед тем как начать, давайте определимся с обозначениями:

Пусть \( R \) - радиус нижнего основания конуса, \( r \) - радиус верхнего основания конуса, \( h \) - высота конуса.

Теперь давайте посмотрим, как мы можем использовать информацию из условия задачи для нахождения площади верхнего основания конуса.

Первая важная формула, которую мы используем, - это формула площади основания конуса. Площадь основания конуса можно найти, используя формулу площади круга: \( S = \pi \cdot r^2 \).

Вторая формула, которая нам понадобится, связана с тангенсом угла между образующей и основанием конуса. Образующая конуса будет величиной, которую нам нужно найти, чтобы решить задачу.

Тангенс угла между образующей и основанием конуса можно найти с помощью следующей формулы: \( \tan(\alpha) = \frac{{r - R}}{{l}} \), где \( l \) - длина образующей конуса.

Однако, у нас нет информации о величине длины образующей \( l \), но у нас есть значение тангенса угла. Мы можем воспользоваться этим фактом, чтобы найти длину образующей.

Тангенс угла составляет \( \tan(\alpha) = \frac{{2,4}}{{1}} \), поскольку высота равна 12 см, а радиус нижнего основания равен 8 см.

Теперь нам нужно решить уравнение относительно длины образующей \( l \):

\[ \tan(\alpha) = \frac{{r - R}}{{l}} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{{2,4}}{{1}} = \frac{{r - 8}}{{l}} \]

Теперь давайте решим это уравнение относительно \( l \):

\[ l = \frac{{r - 8}}{{2,4}} \]

Теперь у нас есть информация о длине образующей конуса. Осталось только найти площадь верхнего основания конуса.

Мы знаем, что высота конуса равна 12 см, поэтому мы можем использовать подобные треугольники для нахождения радиуса верхнего основания.

Мы можем записать пропорцию между длиной образующей \( l \), радиусом нижнего основания \( R \) и радиусом верхнего основания \( r \):

\[ \frac{{l}}{{h}} = \frac{{R - r}}{{h}} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{{\frac{{r - 8}}{{2,4}}}}{{12}} = \frac{{8 - r}}{{12}} \]

Теперь давайте решим это уравнение относительно \( r \):

\[ \frac{{r - 8}}{{2,4}} = \frac{{8 - r}}{{12}} \]

\[ 12(r - 8) = 2,4(8 - r) \]

\[ 12r - 96 = 19,2 - 2,4r \]

\[ 14,4r = 115,2 \]

\[ r = \frac{{115,2}}{{14,4}} \]

\[ r = 8 \]

Теперь у нас есть значение радиуса верхнего основания конуса. Давайте найдем площадь верхнего основания конуса, используя формулу площади круга:

\[ S = \pi \cdot r^2 \]

Подставим значение радиуса:

\[ S = \pi \cdot 8^2 \]

\[ S = \pi \cdot 64 \]

\[ S \approx 201,06 \, \text{см}^2 \]

Ответ: Площадь верхнего основания усеченного конуса составляет примерно 201,06 см².