Найти уравнение окружности, описанной около треугольника MNK, заданного координатами вершин M(-3;0), N(1;3) и K(5;0

Инна_6671

62

Чтобы найти уравнение окружности, описанной вокруг треугольника MNK, мы будем использовать формулу, основанную на теореме описанной окружности треугольника. Сначала найдем координаты центра окружности, а затем радиус.

1. Найдем координаты центра окружности.
Центр окружности, описанной вокруг треугольника MNK, является точкой пересечения перпендикуляров, проведенных к серединам сторон треугольника.

Сначала найдём середины сторон треугольника по следующим формулам:
Середина стороны MN: \(\left(\frac{{x_M + x_N}}{2}, \frac{{y_M + y_N}}{2}\right)\)
Середина стороны NK: \(\left(\frac{{x_N + x_K}}{2}, \frac{{y_N + y_K}}{2}\right)\)
Середина стороны MK: \(\left(\frac{{x_M + x_K}}{2}, \frac{{y_M + y_K}}{2}\right)\)

Подставим значения координат вершин треугольника:
Середина стороны MN: \(\left(\frac{{-3 + 1}}{2}, \frac{{0 + 3}}{2}\right) = (-1, \frac{3}{2})\)
Середина стороны NK: \(\left(\frac{{1 + 5}}{2}, \frac{{3 + 0}}{2}\right) = (3, \frac{3}{2})\)
Середина стороны MK: \(\left(\frac{{-3 + 5}}{2}, \frac{{0 + 0}}{2}\right) = (1, 0)\)

Серединные точки сторон MN и NK имеют одинаковые координаты \(y\). Значит, перпендикуляр к стороне NK через середину должен быть вертикальной линией с уравнением вида \(x = c\), где \(c\) - координата \(x\) середины стороны NK.

Значит, координаты центра окружности: \((c, \frac{3}{2})\)

Заметим, что середина стороны MK имеет координату \(y = 0\), следовательно, центр окружности также будет находиться на оси \(x\).

Получается, что координаты центра окружности: \((c, 0)\)

2. Найдем радиус окружности.
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника MNK, равен расстоянию между центром окружности и любой из вершин треугольника.

Мы могли бы использовать формулу для расстояния между двумя точками, но есть проще и более надежный способ.

Заметим, что расстояние от центра окружности до любой из вершин треугольника равно радиусу. Поэтому, чтобы найти радиус, мы можем использовать расстояние между центром и вершиной M или N или K.

Возьмем, например, вершину M.
Формула для расстояния между двумя точками: \(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)
Подставим координаты центра окружности и вершины M: \(d = \sqrt{{(c - (-3))^2 + (0 - 0)^2}} = \sqrt{{(c + 3)^2}} = |c + 3|\)

Радиус окружности равен расстоянию между центром и вершиной M: \(r = |c + 3|\)

3. Найдем уравнение окружности.
Зная координаты центра и радиус, мы можем записать уравнение окружности в виде \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) - координаты центра, \(r\) - радиус.

Подставим значения в уравнение окружности:
\((x - c)^2 + (y - 0)^2 = |c + 3|^2\)

Вот уравнение окружности, описанной вокруг треугольника MNK, заданного координатами вершин M(-3;0), N(1;3) и K(5;0).