Какова плотность энергии магнитного поля в центре кольцевого проводника с радиусом r = 25 см и n = 100 витков

Ледяная_Роза

13

Хорошо, чтобы решить эту задачу, нам понадобятся следующие формулы:

1. Плотность энергии магнитного поля $u$ измеряется в джоулях на кубический метр ($J/m^3$) и вычисляется по формуле:
$$u=\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2$$

Где $B$ - индукция магнитного поля и ${\mu }_0$ - магнитная постоянная, значение которой равно $4\pi \times {10}^{-7}$ Тл/м.

2. Индукция магнитного поля $B$ внутри кругового проводника с током определяется формулой:
$$B=\frac{{\mu }_{0}in}{2r}$$

Где $i$ - сила тока в проводнике, $n$ - количество витков в проводнике и $r$ - радиус кольцевого проводника.

Теперь давайте приступим к решению задачи.

1. Найдем индукцию магнитного поля $B$:
$$B=\frac{{\mu }_{0}in}{2r}=\frac{4\pi \times {10}^{-7}\cdot i\cdot 100}{2\cdot 0.25}=\frac{2\pi \times {10}^{-5}i}{r}$$

2. Теперь можем найти плотность энергии магнитного поля $u$ в центре кольцевого проводника:
$$u=\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2=\frac{1}{2\cdot 4\pi \times {10}^{-7}}\cdot {\left(\frac{2\pi \times {10}^{-5}i}{r}\right)}^2=\frac{(2\pi \times {10}^{-5}i{)}^2}{2\cdot 4\pi \times {10}^{-7}\cdot r^2}$$

3. Упростим выражение:
$$u=\frac{4{\pi }^2\times {10}^{-10}{i}^2}{8\pi \times {10}^{-7}\cdot r^2}=\frac{\pi }{2}\cdot {10}^{-3}{i}^2\cdot \frac{1}{r^2}$$

Таким образом, плотность энергии магнитного поля в центре кольцевого проводника с радиусом $r$ и $n$ витков при заданной силе тока $i$ равна $\frac{\pi }{2}\cdot {10}^{-3}{i}^2\cdot \frac{1}{r^2}$ (Дж/м³).