Какова полная поверхность усеченной пирамиды, если площадь одного из ее оснований в 4 раза больше площади второго

Даша

27

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые знания о геометрии и формулах для расчета поверхности усеченной пирамиды.

Давайте разобьем задачу на несколько шагов:

1. Обозначим площадь меньшего основания через \(S_1\), а площадь большего основания через \(S_2\).
Выражение "площадь одного из ее оснований в 4 раза больше площади второго основания" можно записать следующим образом: \(S_1 = 4S_2\).

2. Найдем площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Это можно сделать с помощью формулы:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (\text{периметр}_1 + \text{периметр}_2) \cdot l,\]

где \(\text{периметр}_1\) - периметр меньшего основания, \(\text{периметр}_2\) - периметр большего основания, \(l\) - образующая пирамиды.

3. Нам также дано, что все двугранные углы при большем основании равны 60 градусов. Обозначим его боковую сторону через \(a\).
Тогда \(\text{периметр}_2 = 3a\) (так как пирамида имеет три боковых грани) и \(l = \frac{a}{2}\) (так как боковая сторона пирамиды делится пополам).

Теперь, имея все необходимые сведения и формулы, решим задачу:

1. Используя условие задачи, получаем \(S_1 = 4S_2\).

2. Вычислим периметр большего основания:
\(\text{периметр}_2 = 3a\),
где \(a\) - длина боковой стороны, найдем ее, используя двугранные углы:
\(\angle BAC = 60^\circ\), где \(B\) и \(C\) - вершины боковых граней основания.
Таким образом, у треугольника \(ABC\) угол при вершине \(A\) равен \(60^\circ\), и два других угла будут равными:
\(\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \angle BAC}{2} = \frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = 60^\circ\).
Значит, треугольник \(ABC\) равносторонний, и все его стороны равны между собой. Поэтому \(a = BC\).

3. Теперь найдем образующую \(l = \frac{a}{2}\).

4. Найдем периметр меньшего основания:
\(\text{периметр}_1 = 4l\).

5. Вычислим площадь боковой поверхности:
\(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (\text{периметр}_1 + \text{периметр}_2) \cdot l\).

6. Найдем полную поверхность усеченной пирамиды. Для этого нужно сложить площадь боковой поверхности и площади обоих оснований:
\(S_{\text{пол}} = S_{\text{бок}} + 2S_2 + 2S_1\).

Теперь приступим к вычислениям.

1. Используя условие задачи, получаем \(S_1 = 4S_2\).

2. Вычислим периметр большего основания:
\(\text{периметр}_2 = 3a\),
где \(a\) - длина боковой стороны.
Так как пирамида равносторонняя, \(a\) будет равно боковой стороне большего основания.
Поэтому \(\text{периметр}_2 = 3S_2\).

3. Найдем образующую \(l = \frac{a}{2} = \frac{S_2}{2}\).

4. Найдем периметр меньшего основания:
\(\text{периметр}_1 = 4l = 4 \cdot \frac{S_2}{2} = 2S_2\).

5. Вычислим площадь боковой поверхности:
\(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (\text{периметр}_1 + \text{периметр}_2) \cdot l = \frac{1}{2} \cdot (2S_2 + 3S_2) \cdot \frac{S_2}{2} = \frac{5}{4}S_2^2\).

6. Найдем полную поверхность усеченной пирамиды:
\(S_{\text{пол}} = S_{\text{бок}} + 2S_2 + 2S_1 = \frac{5}{4}S_2^2 + 2S_2 + 2(4S_2) = \frac{5}{4}S_2^2 + 2S_2 + 8S_2\).

Таким образом, полная поверхность усеченной пирамиды равна \(\frac{5}{4}S_2^2 + 10S_2\).