Какова потенциальная энергия пружины при смещении груза массой 0, 1 кг на 0,03 м от положения равновесия? Какова

Сон

41

Для решения этой задачи нам понадобятся известные формулы для потенциальной энергии пружины и частоты гармонических колебаний.

1. Потенциальная энергия пружины (\(E_p\)) определяется формулой:

\[E_p = \frac{1}{2} k x^2\]

где \(k\) - коэффициент упругости пружины, а \(x\) - смещение груза от положения равновесия.

2. Частота гармонических колебаний (\(f\)) связана с циклической частотой (\(\omega\)) формулой:

\[f = \frac{\omega}{2\pi}\]

Теперь решим задачу.

Дано:
Масса груза (\(m\)) = 0,1 кг
Смещение (\(x\)) = 0,03 м
Циклическая частота (\(\omega\)) = 20 рад/с

1. Потенциальная энергия пружины (\(E_p\)):

Для начала, нам нужно найти коэффициент упругости пружины (\(k\)). К счастью, у нас есть формула связи между \(k\) и \(f\):

\[\omega = 2\pi f\]

где \(\omega\) - циклическая частота, а \(f\) - частота гармонических колебаний.

Подставляя значения, получаем:

\(\omega = 2\pi \times 20 = 40\pi\) рад/с

Теперь мы можем выразить \(k\) из этой формулы:

\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)

Получаем:

\(\frac{40\pi}{\sqrt{0,1}} = \sqrt{k}\)

Для нахождения \(k\) возводим обе стороны уравнения в квадрат:

\((\frac{40\pi}{\sqrt{0,1}})^2 = k\)
\((\frac{40\pi \cdot 10}{\sqrt{0,1}})^2 = k\) (умножаем числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной части в знаменателе)

Решаем эту формулу и получаем:

\(k \approx 1000 \pi^2\) Н/м

Теперь, когда у нас есть значение \(k\), мы можем рассчитать потенциальную энергию пружины (\(E_p\)):

\[E_p = \frac{1}{2} \cdot 1000 \pi^2 \cdot (0,03)^2\]

Вычисляем эту формулу и получаем:

\[E_p \approx 14,137 \text{ дж}\]

Таким образом, потенциальная энергия пружины при смещении груза массой 0,1 кг на 0,03 м от положения равновесия составляет около 14,137 дж.

2. Частота гармонических колебаний (\(f\)):

Нам уже известна циклическая частота (\(\omega\)):

\(\omega = 20\) рад/с

Теперь мы можем рассчитать частоту гармонических колебаний (\(f\)):

\[f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{20}{2\pi} \approx \frac{10}{\pi} \approx 3.183 \text{ Гц}\]

Таким образом, частота гармонических колебаний с циклической частотой 20 рад/с составляет около 3.183 Гц.