Какова поверхностная плотность заряда на бесконечной вертикальной плоскости, которая равномерно заряжена, если на нити

Yahont_2531

64

В этой задаче нам дано, что на нити подвешен шарик с одноименным зарядом массой 50 мг и зарядом 0,6 нКл. Также известно, что сила натяжения нити равна некоторому значению. Наша задача - найти поверхностную плотность заряда на бесконечной вертикальной плоскости.

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Кулона и равновесие сил. Закон Кулона гласит, что сила взаимодействия между двумя точечными зарядами пропорциональна их зарядам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Подвешенный шарик испытывает силу притяжения со стороны заряда на плоскости. Чтобы шарик находился в равновесии, сила натяжения нити должна быть равна силе притяжения.

Мы можем записать это равенство в виде уравнения:

\[F_t = F_e\]

где \(F_t\) - сила натяжения нити, а \(F_e\) - сила притяжения.

\(F_t\) - это натяжение нити, которое действует вертикально вверх.


\(F_e\) - сила притяжения, можно рассчитать с помощью закона Кулона:

\[F_e = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2}}\]

где \(k\) - постоянная Кулона (\(k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(q_1\) и \(q_2\) - заряды шарика и плоскости соответственно, а \(r\) - расстояние между ними.

Заметим, что масса шарика и сила тяжести на шарик связаны следующим образом:

\[F_g = m \cdot g\]

где \(F_g\) - сила тяжести, \(m\) - масса шарика, \(g\) - ускорение свободного падения (\(g = 9,8 \, \text{м/с}^2\)).

Так как шарик находится в равновесии, то \(F_t\) равно \(F_g\):

\[F_t = F_g\]

Теперь мы можем приравнять \(F_g\) и \(F_e\):

\[F_g = F_e\]

\[m \cdot g = \frac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2}}\]

Нам нужно найти поверхностную плотность заряда (\(\sigma\)), которая определяется как отношение заряда к площади поверхности:

\[\sigma = \frac{{q_2}}{{A}}\]

где \(A\) - площадь поверхности.

Так как поверхность бесконечной плоскости не имеет площади, мы должны рассмотреть единичную площадь. Тогда поверхностная плотность заряда станет плотностью заряда (\(\rho\)):

\[\sigma = \rho\]

Давайте используем эти равенства, чтобы найти значение поверхностной плотности заряда.

Перенесем все неизвестные в одну часть уравнения и все известные значения в другую часть:

\[\rho = \frac{{q_2 \cdot g}}{{k \cdot m}}\]

Подставим известные значения: \(q_2 = 0,6 \, \text{нКл}\), \(g = 9,8 \, \text{м/с}^2\), \(k = 9 \cdot 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\), \(m = 50 \, \text{мг}\) (50 мг можно перевести в кг, умножив на \(10^{-6}\)).

\[\rho = \frac{{0,6 \times 10^{-9} \cdot 9,8}}{{9 \cdot 10^9 \cdot 50 \times 10^{-6}}}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[\rho = \frac{{0,6 \times 10^{-9} \cdot 9,8}}{{9 \cdot 10^9 \cdot 50 \times 10^{-6}}} \approx 7,333 \times 10^{-7} \, \text{Кл/м}^2\]

Таким образом, поверхностная плотность заряда на бесконечной вертикальной плоскости составляет примерно \(7,333 \times 10^{-7} \, \text{Кл/м}^2\).