Какова проекция скорости тела в момент, когда оно достигло указанной координаты? Темп движения тела описывается

Zayka

24

Для решения данной задачи мы можем использовать производную функции \(x(t)\) по времени, чтобы найти скорость тела в момент времени \(t\).

Итак, начнем с записи функции \(x(t) = 100 - 5t^2\). Чтобы найти проекцию скорости тела в момент, когда оно достигнет указанной координаты, нам необходимо найти такой момент времени \(t\), при котором \(x(t)\) будет равно этой заданной координате.

Пусть заданная координата тела будет обозначена как \(x_0\). Тогда мы можем записать уравнение:

\[x(t) = x_0\]

Подставляя функцию \(x(t) = 100 - 5t^2\) и заменяя \(x_0\) на заданную координату, получаем:

\[100 - 5t^2 = x_0\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно времени \(t\).

Сначала перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\[5t^2 = 100 - x_0\]

Затем разделим обе части уравнения на 5:

\[t^2 = \frac{100 - x_0}{5}\]

Чтобы избавиться от квадрата, возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[t = \sqrt{\frac{100 - x_0}{5}}\]

Теперь мы нашли значение времени \(t\), которое соответствует заданной координате \(x_0\). Остается только найти проекцию скорости в этот момент времени.

Для этого нам нужно найти производную функции \(x(t)\). Возьмем производную по времени \(t\) от \(x(t)\):

\[\frac{dx}{dt} = \frac{d(100 - 5t^2)}{dt} = -10t\]

Теперь подставим найденное значение \(t\) в это выражение:

\[\text{проекция скорости} = \frac{dx}{dt} \Bigg|_{t = \sqrt{\frac{100 - x_0}{5}}} = -10 \cdot \sqrt{\frac{100 - x_0}{5}}\]

Таким образом, проекция скорости тела в момент, когда оно достигает указанной координаты \(x_0\), равна \(-10 \cdot \sqrt{\frac{100 - x_0}{5}}\).

Важно отметить, что данная формула дает проекцию скорости в указанный момент времени, но не даёт полную информацию о скорости в последующие моменты времени или другие характеристики движения тела.