Какова разница потенциалов между центром квадрата и серединой одной из его сторон, если в четырех его вершинах

Марат

25

Чтобы определить разницу потенциалов между центром квадрата и серединой одной из его сторон, нам нужно вычислить потенциал в каждой из этих точек и затем найти их разницу. Для решения этой задачи воспользуемся формулой для потенциала точечного заряда.

Пусть сторона квадрата имеет длину \(a\). Так как в каждой из вершин квадрата расположен заряд 1 нКл, то потенциал в любой точке, расстояние от которой до заряда равно \(r\), будет равен:

\[V = \frac{k \cdot q}{r},\]

где \(k\) - постоянная Кулона (\(k \approx 9 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot\text{м}^2 / \text{Кл}^2\)), \(q\) - величина заряда (\(1 \, \text{нКл}\)), \(r\) - расстояние до заряда.

Для начала, нам понадобится вычислить расстояние от центра квадрата до его вершины. Поскольку диагональ квадрата допускает деление его на два равнобедренных прямоугольных треугольника, то расстояние от центра до вершины будет равно половине длины диагонали, то есть \(r = \frac{a}{2}\sqrt{2}\).

Теперь можем вычислить потенциал в центре квадрата и в середине одной из его сторон.

Для центра квадрата:
\[V_\text{центр} = \frac{k \cdot q}{r} = \frac{9 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot\text{м}^2 / \text{Кл}^2 \cdot 1 \, \text{нКл}}{\frac{a}{2}\sqrt{2}}.\]

Для середины одной из сторон:
\[V_\text{сторона} = \frac{k \cdot q}{r} = \frac{9 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot\text{м}^2 / \text{Кл}^2 \cdot 1 \, \text{нКл}}{\frac{a}{2}}.\]

Теперь найдем разницу потенциалов:
\[\Delta V = V_\text{центр} - V_\text{сторона} = \frac{9 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot\text{м}^2 / \text{Кл}^2 \cdot 1 \, \text{нКл}}{\frac{a}{2}\sqrt{2}} - \frac{9 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot\text{м}^2 / \text{Кл}^2 \cdot 1 \, \text{нКл}}{\frac{a}{2}}.\]

Упрощаем выражение и приводим к общему знаменателю:
\[\Delta V = \frac{9 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot\text{м}^2 / \text{Кл}^2 \cdot 1 \, \text{нКл} \cdot 2}{\frac{a}{2}\sqrt{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \sqrt{2}} - \frac{9 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot\text{м}^2 / \text{Кл}^2 \cdot 1 \, \text{нКл} \cdot \sqrt{2}}{\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}\sqrt{2}}.\]

Таким образом, разница потенциалов между центром квадрата и серединой одной из его сторон будет равна:
\[\Delta V = \frac{9 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot\text{м}^2 / \text{Кл}^2 \cdot 2 \, \text{нКл}}{a} - \frac{9 \times 10^9 \, \text{Н}\cdot\text{м}^2 / \text{Кл}^2 \cdot 1 \, \text{нКл}}{a\sqrt{2}}.\]

Таким образом, мы получили выражение для разницы потенциалов в зависимости от длины стороны квадрата \(a\). Если вы уточните значение этой величины, я смогу вычислить точное численное значение разницы потенциалов.