Какова разница в уровнях воды в капиллярных трубках диаметром 2 мм и 1 мм? Просьба привести решение

Буся

58

Для решения данной задачи, нам следует обратиться к закону Лапласа, который устанавливает зависимость радиуса кривизны поверхности капли от разности давлений внутри и снаружи капли. В случае капилляра, этот закон можно применить для определения разницы уровней воды в различных трубках.

Значение разницы уровней воды может быть выражено следующей формулой:

\[\Delta h = \frac{{2 \cdot \sigma \cdot \cos(\theta)}}{{r \cdot \rho \cdot g}}\]

Где:
\(\Delta h\) - разница уровней воды в капилляре,
\(\sigma\) - поверхностное натяжение воды,
\(\theta\) - угол смачивания поверхности капилляра, который в данной задаче считается равным нулю для простоты,
\(r\) - радиус капилляра,
\(\rho\) - плотность воды,
\(g\) - ускорение свободного падения.

У нас есть две капиллярные трубки, одна с диаметром 2 мм, а другая с диаметром 1 мм. Для определения разницы уровней воды в них, нам нужно вычислить разницу \(\Delta h\) для каждой трубки и сравнить полученные значения.

Для трубки с диаметром 2 мм:
Радиус, \(r_1 = \frac{2 \, \text{мм}}{2} = 1 \, \text{мм} = 0.001 \, \text{м}\)

Для трубки с диаметром 1 мм:
Радиус, \(r_2 = \frac{1 \, \text{мм}}{2} = 0.5 \, \text{мм} = 0.0005 \, \text{м}\)

Подставим значения в формулу:

\(\Delta h_1 = \frac{{2 \cdot \sigma \cdot \cos(0)}}{{0.001 \, \text{м} \cdot \rho \cdot g}}\)

\(\Delta h_2 = \frac{{2 \cdot \sigma \cdot \cos(0)}}{{0.0005 \, \text{м} \cdot \rho \cdot g}}\)

Так как угол смачивания \(\theta\) считается равным нулю, можно заметить, что \(\cos(0) = 1\), поэтому его можно опустить:

\(\Delta h_1 = \frac{{2 \cdot \sigma}}{{0.001 \, \text{м} \cdot \rho \cdot g}}\)

\(\Delta h_2 = \frac{{2 \cdot \sigma}}{{0.0005 \, \text{м} \cdot \rho \cdot g}}\)

Очевидно, что разница уровней воды в капилляре с меньшим диаметром будет больше, так как знаменатель в формуле для \(\Delta h\) у неё будет меньше.

Таким образом, разница в уровнях воды в капиллярных трубках диаметром 2 мм и 1 мм будет определена выражениями:

\(\Delta h_1 = \frac{{2 \cdot \sigma}}{{0.001 \, \text{м} \cdot \rho \cdot g}}\)

\(\Delta h_2 = \frac{{2 \cdot \sigma}}{{0.0005 \, \text{м} \cdot \rho \cdot g}}\)

где \(\Delta h_1\) - разница уровней воды в капилляре диаметром 2 мм, а \(\Delta h_2\) - разница уровней воды в капилляре диаметром 1 мм.