Какова разность уровней жидкостей в колоннах / h после открытия крана, если в левом колене трубки с открытым краем

Волк

10

Чтобы найти разность уровней жидкостей в колоннах после открытия крана, мы можем использовать принцип Архимеда и уравновешенность давления.

Принцип Архимеда гласит, что на тело, погруженное в жидкость, действует всплывающая сила, равная весу вытесненной жидкости. Если две жидкости разных плотностей находятся в двух чашках в равновесии, вес жидкости в обеих чашках должен быть одинаковым.

Рассмотрим левую колонку с водой. Обозначим через \(h_в\) высоту воды после открытия крана, а через \(h_к\) высоту керосина после открытия крана в правой колонке.

Так как уровни жидкостей до открытия крана одинаковы и равны \(h\), разница в уровнях после открытия крана будет равна \(h = h_в - h_к\).

Мы знаем, что плотность воды равна \(ρ_в = 1000 \, \text{кг/м}^3\) и плотность керосина равна \(ρ_к = 800 \, \text{кг/м}^3\).

Воспользуемся уравнением давления в жидкости:

\[P = ρgh,\]

где \(P\) - давление, \(ρ\) - плотность жидкости, \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно \(9,8 \, \text{м/с}^2\)), а \(h\) - высота жидкости.

Давление воды \(P_в\) будет равно:

\[P_в = ρ_вgh_в.\]

Давление керосина \(P_к\) будет равно:

\[P_к = ρ_кgh_к.\]

Так как оба сосуда находятся в равновесии, давления должны быть равны:

\[P_в = P_к.\]

Подставим выражения для давлений и плотностей:

\[ρ_вgh_в = ρ_кgh_к.\]

Разделим обе части уравнения на \(ρ_кg\) и получим:

\[h_в = \frac{ρ_к}{ρ_в}h_к.\]

Подставим значения плотностей:

\[h_в = \frac{800}{1000}h_к.\]

Теперь, с помощью уравнения разности уровней жидкостей, найдем \(h\):

\[h = h_в - h_к = \frac{800}{1000}h_к - h_к = \left(\frac{800}{1000} - 1\right)h_к = -\frac{200}{1000}h_к.\]

Мы знаем, что \(h = 10\) см, поэтому:

\[-\frac{200}{1000}h_к = 10 \, \text{см}.\]

Упростим выражение:

\[-\frac{200}{1000}h_к = 10.\]

Умножим обе части на \(-\frac{1000}{200}\):

\[h_к = -\frac{1000}{200} \cdot 10.\]

Вычислим значение:

\[h_к = -50 \, \text{см}.\]

Так как высота не может быть отрицательной, уровень керосина в правой колонке после открытия крана равен 50 см. Подставим это значение в уравнение для разности уровней жидкостей:

\[h = h_в - h_к = 10 - 50 = -40 \, \text{см}.\]

Ответ: разность уровней жидкостей в колоннах после открытия крана составляет -40 см.