Какова сила, действующая на тело в точке с координатами r (x, y), если зависимость потенциальной энергии от координат

Sherhan

38

Чтобы найти силу, действующую на тело в точке с координатами \( r(x, y) \), мы можем использовать формулу:

\[ F = - \nabla w_p \]

где \( \nabla \) обозначает градиент, а \( w_p \) - потенциальная энергия. Давайте посмотрим, как это работает для данной задачи.

Сначала посчитаем градиент потенциальной энергии \( w_p \):

\[ \nabla w_p = \frac{\partial w_p}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial w_p}{\partial y} \mathbf{j} \]

где \( \mathbf{i} \) и \( \mathbf{j} \) - это единичные векторы вдоль осей \( x \) и \( y \) соответственно.

Для наших начальных данных, \( w_p = k \ln (x^2 + y^2) \), где \( k = 4 \cdot 10^{-5} \) Н·м\(^2\), \( x = 40 \) см и \( y = 30 \) см. Сначала найдем производную \( w_p \) по \( x \):

\[ \frac{\partial w_p}{\partial x} = \frac{2kx}{x^2 + y^2} \]

Теперь найдем производную \( w_p \) по \( y \):

\[ \frac{\partial w_p}{\partial y} = \frac{2ky}{x^2 + y^2} \]

Теперь у нас есть градиент \( \nabla w_p \):

\[ \nabla w_p = \left(\frac{2kx}{x^2 + y^2}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{2ky}{x^2 + y^2}\right) \mathbf{j} \]

Теперь можем посчитать силу \( F \), используя градиент \( \nabla w_p \):

\[ F = - \nabla w_p = - \left(\frac{2kx}{x^2 + y^2}\right) \mathbf{i} - \left(\frac{2ky}{x^2 + y^2}\right) \mathbf{j} \]

Теперь подставим значения \( x = 40 \) см, \( y = 30 \) см и \( k = 4 \cdot 10^{-5} \) Н·м\(^2\):

\[ F = - \left(\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-5} \cdot 0.4}{(0.4)^2 + (0.3)^2}\right) \mathbf{i} - \left(\frac{2 \cdot 4 \cdot 10^{-5} \cdot 0.3}{(0.4)^2 + (0.3)^2}\right) \mathbf{j} \]

Теперь давайте вычислим численное значение этого выражения:

\[ F \approx -0.0006946 \mathbf{i} - 0.000521 \mathbf{j} \]

Итак, сила, действующая на тело в точке с координатами \( r(0.4, 0.3) \), примерно равна \( -0.0006946 \) Н\(\cdot\)м вдоль оси \( x \) и \( -0.000521 \) Н\(\cdot\)м вдоль оси \( y \).