Какова сила натяжения каждой струны, если прямоугольная полка шириной 47 см и груз массой 1 кг находятся в центре полки

Dozhd_9539

22

Для решения этой задачи, мы можем использовать понятие момента силы и условия равновесия. Давайте разложим силу тяжести на горизонтальную и вертикальную компоненты.

Первым шагом, определим горизонтальную и вертикальную компоненты силы тяжести:

$$F_{гор}=mg\cdot \sin (\theta )$$
$$F_{верт}=mg\cdot \cos (\theta )$$

где $m$ - масса груза, $g$ - ускорение свободного падения (приблизительно равное 9,8 м/с²), а $\theta$ - угол между струной и горизонтом.

Поскольку полка находится в состоянии равновесия, сумма горизонтальных компонентов сил равна нулю:

$$F_{го{р}_1}+F_{го{р}_2}=0$$

где $F_{го{р}_1}$ и $F_{го{р}_2}$ - горизонтальные компоненты сил натяжения первой и второй струн соответственно.

Также, если рассмотреть момент сил относительно нижней опоры, сумма моментов должна быть равна нулю:

$$F_{го{р}_1}\cdot \frac{L}{2}-F_{го{р}_2}\cdot \frac{L}{2}+F_{верт}\cdot \frac{L}{2}=0$$

где $L$ - длина полки.

Мы знаем, что длина полки равна двум длинам струн, поэтому $L=2s$, где $s$ - длина каждой струны.

Теперь мы можем подставить значения в уравнение и найти силы натяжения.

$$F_{го{р}_1}+F_{го{р}_2}=0$$
$$F_{го{р}_1}=-F_{го{р}_2}$$

$$F_{го{р}_1}\cdot s-F_{го{р}_2}\cdot s+F_{верт}\cdot s=0$$
$$F_{го{р}_1}-F_{го{р}_2}+F_{верт}=0$$

Однако, угол $\theta$ не задан, поэтому нам нужно выразить $F_{го{р}_1}$ и $F_{го{р}_2}$ через $F_{верт}$ и $\theta$.

Используя геометрические соображения, мы можем увидеть, что:

$\tan (\theta )=\frac{F_{го{р}_2}}{F_{верт}}$

Из уравнения $F_{го{р}_1}=-F_{го{р}_2}$, мы можем получить:

$-\tan (\theta )=\frac{F_{го{р}_1}}{F_{верт}}$

Теперь мы можем подставить это в выражение для суммы сил:

$$-\tan (\theta )-\tan (\theta )+1=0$$

Отсюда получаем:

$$\tan (\theta )=\frac{1}{2},$$
$$\theta =\arctan \left(\frac{1}{2}\right).$$

Теперь мы можем найти вертикальную компоненту силы:

$$F_{верт}=mg\cdot \cos (\arctan \left(\frac{1}{2}\right)).$$

Далее, мы можем использовать найденные значения, чтобы найти горизонтальные компоненты силы:

$$F_{го{р}_1}=-F_{го{р}_2}=\tan (\arctan \left(\frac{1}{2}\right))\cdot F_{верт}.$$

Наконец, после подстановки численных значений, мы получим ответ:

$$F_{го{р}_1}=-F_{го{р}_2}\approx -4,9Н,$$
$$F_{верт}\approx 9,8Н.$$