Какова скорость катера в км/ч, если он отправился из пункта А в пункт В, который находится на расстоянии 72

Роман

62

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим скорость катера как V км/ч.

Во-первых, рассмотрим, сколько времени затратит катер на путь от пункта А до пункта В. Расстояние между ними составляет 72 км, и скорость катера не меняется, поэтому мы можем использовать формулу:

\[
\text{{Время}} = \frac{{\text{{Расстояние}}}}{{\text{{Скорость}}}}
\]

Тогда время \(t_1\) в часах, затраченное на путь от пункта А до пункта В, можно выразить следующим образом:

\[
t_1 = \frac{{72}}{{V}}
\]

Во-вторых, нам дано, что катер потратил на обратный путь на 2 часа меньше. Поэтому время \(t_2\) в часах, затраченное на обратный путь от пункта В до пункта А, будет равно \(t_1 - 2\).

Теперь мы можем записать формулу для обратного пути:

\[
t_2 = t_1 - 2
\]

Теперь нам нужно учесть скорость течения реки в 3 км/ч. Катер двигается против течения при движении от пункта В к пункту А и с течением при движении от пункта А к пункту В. При движении против течения реки скорость катера уменьшается на скорость течения, а при движении с течением скорость катера увеличивается на скорость течения.

Таким образом, на пути от пункта А до пункта В (против течения) скорость катера будет \(V - 3\) км/ч, а на обратном пути (с течением) скорость катера будет \(V + 3\) км/ч.

Мы можем использовать формулу расстояния:

\[
\text{{Расстояние}} = \text{{Скорость}} \times \text{{Время}}
\]

для выражения расстояний на каждом пути. Расстояние, пройденное катером от пункта А до пункта В, будет равно:

\[
72 = (V - 3) \cdot t_1
\]

Расстояние, пройденное катером от пункта В до пункта А, будет равно:

\[
72 = (V + 3) \cdot t_2
\]

Мы уже выразили \(t_1\) через \(V\) в первом уравнении, поэтому второе уравнение можно записать в терминах \(V\) следующим образом:

\[
72 = (V + 3) \cdot (t_1 - 2)
\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{cases}
72 = (V - 3) \cdot t_1 \\
72 = (V + 3) \cdot (t_1 - 2)
\end{cases}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения значения \(V\).

Рассмотрим первое уравнение:

\[
72 = (V - 3) \cdot t_1
\]

Разрешим его относительно \(t_1\):

\[
t_1 = \frac{{72}}{{V - 3}}
\]

Теперь подставим это значение \(t_1\) во второе уравнение:

\[
72 = (V + 3) \cdot \left(\frac{{72}}{{V - 3}} - 2\right)
\]

Упростим это уравнение:

\[
72 = \frac{{(V + 3) \cdot (72 - 2V + 6)}}{{V - 3}}
\]

Раскроем скобки:

\[
72 = \frac{{(V + 3) \cdot (78 - 2V)}}{{V - 3}}
\]

Теперь умножим обе части уравнения на \(V - 3\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
72 \cdot (V - 3) = (V + 3) \cdot (78 - 2V)
\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[
72V - 216 = 78V - 2V^2 + 216 - 6V
\]

Приведем подобные слагаемые:

\[
2V^2 - 72V + 432 = 0
\]

Как мы можем заметить, это квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя дискриминант:

\[
D = b^2 - 4ac
\]

Для этого уравнения \(a = 2\), \(b = -72\), и \(c = 432\). Подставим значения в формулу для дискриминанта:

\[
D = (-72)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 432
\]

Выполним вычисления:

\[
D = 5184 - 3456 = 1728
\]

Теперь мы можем найти \(V\) с использованием формулы:

\[
V = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

Подставим значения:

\[
V = \frac{{-(-72) \pm \sqrt{1728}}}{{2 \cdot 2}}
\]

Упростим выражение:

\[
V = \frac{{72 \pm 24\sqrt{3}}}{{4}} = 18 \pm 6\sqrt{3}
\]

Таким образом, существует два возможных значения для скорости катера: \(18 + 6\sqrt{3}\) км/ч и \(18 - 6\sqrt{3}\) км/ч.

Пожалуйста, обратите внимание, что полученные значения могут быть округлены до определенного числа знаков после запятой, в зависимости от требований задачи.