Какой тангенс угла наклона касательной, проведенной через точку (2,0), для графика функции y=x^3+2log.e x/2?

Космическая_Звезда_4586

70

Хорошо, давайте решим задачу. Нам дана функция \(y = x^3 + 2\log_e \frac{x}{2}\) и требуется найти тангенс угла наклона касательной, проведенной через точку (2,0).

Для начала, найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Это позволит нам найти угол наклона касательной в любой точке графика функции.

Для нахождения производной функции \(y\), мы можем использовать правило дифференцирования для суммы и произведения. Распишем каждое слагаемое по отдельности:

\[
\frac{d}{dx} (x^3) = 3x^2
\]

\[
\frac{d}{dx} (2 \log_e \frac{x}{2}) = 2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{4}{x}
\]

Теперь найдем производную функции \(y\) путем сложения производных каждого слагаемого. Обозначим производную как \(y"\):

\[
y" = 3x^2 + \frac{4}{x}
\]

Теперь у нас есть производная функции \(y\), которая показывает скорость изменения функции \(y\) в каждой точке.

Чтобы найти угол наклона касательной к графику функции \(y\) в точке (2,0), мы можем подставить значение \(x = 2\) в производную \(y"\). Это даст нам значение тангенса угла наклона:

\[
\tan(\text{угла наклона}) = y"(2) = 3 \cdot 2^2 + \frac{4}{2} = 12 + 2 = 14
\]

Таким образом, тангенс угла наклона касательной, проведенной через точку (2,0), для графика функции \(y = x^3 + 2\log_e \frac{x}{2}\), равен 14.