Какова скорость моторной лодки в неподвижной воде, если она преодолела расстояние в 308 км против течения реки

Muha_3306

37

Для решения данной задачи воспользуемся формулой: скорость лодки в стоячей воде равна половине суммы скорости лодки против течения и скорости течения.

Обозначим скорость лодки в стоячей воде как \(v\), а скорость течения реки как \(c\).

Расстояние, пройденное лодкой против течения, равно расстоянию, пройденному лодкой в стоячей воде плюс расстоянию, пройденному в противоположном направлении со скоростью течения. Обозначим это расстояние как \(d\):

\[d = 308 \, \text{км}\]

На возвратном пути лодка затратила на 3 часа меньше, чем на путь против течения. Обозначим время, затраченное на пройденное расстояние против течения, как \(t\). Тогда время, затраченное на обратный путь, равно \(t - 3\) часа.

Чтобы найти скорость лодки в стоячей воде, нужно решить следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
d = (v - c) \cdot t \\
d = (v + c) \cdot (t - 3)
\end{cases}
\]

Решим эту систему уравнений.

Из первого уравнения получаем:

\[
t = \frac{d}{v - c}
\]

Подставим этот результат во второе уравнение:

\[
d = (v + c) \cdot \left(\frac{d}{v - c} - 3\right)
\]

Раскроем скобки:

\[
d = \frac{d \cdot (v + c)}{v - c} - 3 \cdot (v + c)
\]

Умножим обе части уравнения на \((v - c)\):

\[
d \cdot (v - c) = d \cdot (v + c) - 3 \cdot (v + c) \cdot (v - c)
\]

Раскроем скобки:

\[
d \cdot v - d \cdot c = d \cdot v + d \cdot c - 3 \cdot (v^2 - c^2)
\]

Упростим выражение:

\[
0 = d \cdot v + d \cdot c - 3 \cdot (v^2 - c^2)
\]

Разделим обе части уравнения на \(d\):

\[
v + c = 3 \cdot \frac{v^2 - c^2}{d}
\]

Выразим \(\frac{v^2 - c^2}{d}\):

\[
\frac{v^2 - c^2}{d} = \frac{v + c}{3}
\]

Разделим обе части уравнения на \(v + c\):

\[
\frac{v - c}{d} = \frac{1}{3}
\]

Выразим скорость лодки в стоячей воде:

\[
v - c = \frac{d}{3}
\]

Теперь мы знаем, что \(v - c = \frac{d}{3}\). Но у нас также есть первое уравнение:

\[
d = (v - c) \cdot t
\]

Подставим значение \(\frac{d}{3}\) в это уравнение:

\[
d = \left(\frac{d}{3}\right) \cdot t
\]

Упростим:

\[
1 = \frac{t}{3} \Rightarrow t = 3
\]

Таким образом, мы нашли, что \(t = 3\).

Теперь мы можем найти скорость лодки в стоячей воде. Вернемся к первому уравнению:

\[
d = (v - c) \cdot t
\]

Подставим значение \(t = 3\) и \(d = 308\) (так как лодка преодолела расстояние 308 км):

\[
308 = (v - c) \cdot 3
\]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[
v - c = 102
\]

Таким образом, мы получаем:

\[
v = c + 102
\]

Ответ: скорость моторной лодки в неподвижной воде равна скорости течения плюс 102 км/ч.