Какова скорость составного ядра при столкновении ядра массой m, движущегося со скоростью υ = 0,6c, с неподвижным ядром

Медвежонок

35

Для решения данной задачи мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы до столкновения должна равняться полной энергии системы после столкновения.

Первоначальная кинетическая энергия составляющих ядер равна:
\[E_1 = (\gamma - 1)mc^2,\]
где \(\gamma\) - фактор Лоренца, равный \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\), \(m\) - масса ядра, \(c\) - скорость света.

Полная кинетическая энергия системы до столкновения:
\[E_{\text{общ1}} = 2E_1 = 2(\gamma - 1)mc^2.\]

После столкновения ядра объединяются, образуя новое составное ядро массой \(M\). Кинетическая энергия составного ядра равна:
\[E_2 = (\gamma_{\text{сост}} - 1)Mc^2,\]
где \(\gamma_{\text{сост}}\) - фактор Лоренца для составного ядра.

Также согласно закону сохранения энергии, полная кинетическая энергия системы после столкновения равняется полной кинетической энергии системы до столкновения:
\[E_{\text{общ2}} = E_2.\]

Используя эти два уравнения, мы можем выразить фактор Лоренца для составного ядра:
\[\gamma_{\text{сост}} = 1 + \frac{E_{\text{общ2}}}{Mc^2}.\]

С учетом формулы для фактора Лоренца \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\), где \(v = \frac{0,6c}{2}\) - скорость составного ядра, получаем:
\[\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{0,6c}{2}\right)^2}} = 1 + \frac{E_{\text{общ2}}}{Mc^2}.\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно массы составного ядра \(M\). Далее:

1. Раскрываем квадратный корень слева:
\[\sqrt{1 - \left(\frac{0,6c}{2}\right)^2} = 1 + \frac{E_{\text{общ2}}}{Mc^2}.\]

2. Возводим обе части уравнения в квадрат:
\[1 - \left(\frac{0,6c}{2}\right)^2 = \left(1 + \frac{E_{\text{общ2}}}{Mc^2}\right)^2.\]

3. Находим значение \(\frac{E_{\text{общ2}}}{Mc^2}\):
\[\frac{E_{\text{общ2}}}{Mc^2} = \sqrt{1 - \left(\frac{0,6c}{2}\right)^2} - 1.\]

4. Выражаем массу составного ядра:
\[M = \frac{E_{\text{общ2}}}{\left(\sqrt{1 - \left(\frac{0,6c}{2}\right)^2} - 1\right)c^2}.\]

Таким образом, получаем выражение для массы покоя составного ядра \(M\).
Ответ можно записать в виде:
\[M = \frac{E_{\text{общ2}}}{(\sqrt{1 - 0,18^2} - 1)c^2}.\]