Какова скорость течения реки, если лодка прошла 13 км против течения и 15 км по течению, затратив на весь путь 2 часа?

Buran

15

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать формулу, которая связывает скорость лодки относительно воды со скоростью течения реки. Позвольте мне объяснить каждый шаг решения подробно.

1. Обозначим скорость течения реки как \(V_r\) и скорость лодки относительно воды как \(V_l\).
2. Когда лодка плывет против течения реки, ее скорость относительно земли будет равна разности скорости лодки относительно воды и скорости течения реки: \(V_{\text{против}} = V_l - V_r\).
3. Когда лодка плывет по течению реки, ее скорость относительно земли будет равна сумме скорости лодки относительно воды и скорости течения реки: \(V_{\text{по}} = V_l + V_r\).
4. Согласно условию задачи, лодка прошла 13 км против течения и 15 км по течению, затратив на весь путь 2 часа. Мы можем использовать эти данные для составления уравнений.
5. Расстояние равно произведению скорости и времени: \(S = V \cdot t\), где \(S\) - расстояние, \(V\) - скорость и \(t\) - время.
6. По условию задачи, сумма времен пути против течения и пути по течению составляет 2 часа: \(t_{\text{против}} + t_{\text{по}} = 2\).
7. Для пути против течения: \(13 = (V_l - V_r) \cdot t_{\text{против}}\).
8. Для пути по течению: \(15 = (V_l + V_r) \cdot t_{\text{по}}\).
9. Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными (\(V_l\) и \(V_r\)), которую мы можем решить.

Давайте найдем значения \(V_l\) и \(V_r\). Для этого выполним следующие шаги:

10. Подставим \(t_{\text{по}} = 2 - t_{\text{против}}\) в уравнение пути по течению: \(15 = (V_l + V_r) \cdot (2 - t_{\text{против}})\).
11. Разрешим уравнение относительно \(V_l\): \(V_l = \frac{{15 - 2V_r}}{{2 - t_{\text{против}}}}\).
12. Подставим это значение \(V_l\) в уравнение пути против течения и решим его относительно \(V_r\): \(13 = \left(\frac{{15 - 2V_r}}{{2 - t_{\text{против}}}}\right) - V_r\) или \(13 = \frac{{15 - 2V_r}}{{2 - t_{\text{против}}}} - V_r\).
13. Разрешим уравнение относительно \(V_r\). Сначала упростим выражение: \(26 - 2 \cdot 13 = 15 - 2V_r - V_r \cdot (2 - t_{\text{против}})\).
14. Раскроем скобки и продолжим упрощение: \(0 = 2t_{\text{против}}V_r - t_{\text{против}} - 2V_r + 26\).
15. Перепишем уравнение в виде: \(2t_{\text{против}}V_r - 2V_r = t_{\text{против}} - 26\).
16. Поделим обе части уравнения на 2: \(t_{\text{против}}V_r - V_r = \frac{{t_{\text{против}} - 26}}{2}\).
17. Факторизуем уравнение: \(V_r(t_{\text{против}} - 1) = \frac{{t_{\text{против}} - 26}}{2}\).
18. Разделим обе части уравнения на \((t_{\text{против}} - 1)\): \(V_r = \frac{{t_{\text{против}} - 26}}{{2(t_{\text{против}} - 1)}}\).

Теперь давайте найдем значение \(V_r\), подставив \(t_{\text{против}} = \frac{3}{2}\):

\(V_r = \frac{{\frac{3}{2} - 26}}{{2(\frac{3}{2} - 1)}} = \frac{{\frac{3}{2} - \frac{52}{2}}}{{2 \cdot \frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{-49}{2}}}{{1}} = \frac{-49}{2} = -24.5\).

Скорость течения реки составляет 24.5 км/ч.