Какова скорость вращения электрона на третьем энергетическом уровне в атоме дейтерия согласно теории Бора?

Загадочная_Сова

68

Согласно теории Бора, энергетические уровни электрона в атоме дейтерия определяются формулой:

\[E_n = -\frac{{13.6 \, \text{{эВ}}}}{{n^2}}\]

где \(E_n\) - энергия электрона на \(n\)-ом энергетическом уровне, а \(n\) - число квантования энергетического уровня.

Третий энергетический уровень (когда \(n = 3\)) соответствует \(E_3\). Чтобы найти скорость вращения электрона на этом уровне, мы можем использовать формулу для центростремительного ускорения:

\[a = \frac{{v^2}}{{r}}\]

где \(a\) - центростремительное ускорение, \(v\) - скорость электрона, \(r\) - радиус орбиты электрона.

Также известно, что центростремительное ускорение можно найти как:

\[a = \frac{{k \cdot e^2}}{{r^2}}\]

где \(k\) - постоянная электростатической привлекательной силы, \(e\) - заряд электрона, \(r\) - радиус орбиты электрона.

Используя уравнение \(a = \frac{{k \cdot e^2}}{{r^2}}\), мы можем выразить \(v\) следующим образом:

\[v = \sqrt{\frac{{k \cdot e^2}}{{r}}}\]

Теперь, для того чтобы найти \(v\), необходимо найти значение \(r\) для третьего энергетического уровня в атоме дейтерия. В теории Бора радиус орбиты электрона определяется следующим образом:

\[r = \frac{{n^2 \cdot h^2}}{{4 \pi^2 \cdot m \cdot e^2}}\]

где \(h\) - постоянная Планка, \(m\) - масса электрона.

Подставляя данное значение \(r\) в уравнение для \(v\), получаем:

\[v = \sqrt{\frac{{k \cdot e^2}}{{\frac{{n^2 \cdot h^2}}{{4 \pi^2 \cdot m \cdot e^2}}}}}\]

Сокращая и упрощая выражение, получаем:

\[v = \sqrt{\frac{{k \cdot e^2 \cdot 4 \pi^2 \cdot m \cdot e^2}}{{n^2 \cdot h^2}}}\]

Теперь, подставляя известные значения констант в данное уравнение, получаем:

\[v = \sqrt{\frac{{9 \cdot 10^9 \, \text{{Н}} \cdot \text{{м}}^2/\text{{Кл}}^2 \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{{Кл}})^2 \cdot 4 \cdot (\pi)^2 \cdot (9.1 \cdot 10^{-31} \, \text{{кг}}) \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{{Кл}})^2}}{{3^2 \cdot (6.626 \cdot 10^{-34} \, \text{{Дж}} \cdot \text{{с}})^2}}}\]

Вычисляя это выражение, получаем:

\[v \approx 2.20 \times 10^6 \, \text{{м/с}}\]

Таким образом, скорость вращения электрона на третьем энергетическом уровне в атоме дейтерия, согласно теории Бора, составляет примерно \(2.20 \times 10^6\) метров в секунду.