Какова средняя плотность планеты диаметром 6800 км, если камень падает с обрыва высотой 200 м за 10 секунд?

Cherepashka_Nindzya

52

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для средней плотности:

\[ \text{плотность} = \frac{{\text{масса}}}{{\text{объем}}} \]

Мы знаем, что камень падает с высоты 200 м и у нас есть время и скорость падения, то есть мы можем рассчитать ускорение свободного падения. Ускорение свободного падения на поверхности Земли составляет около 9.8 м/с².

Сначала найдем скорость падения, используя формулу для равноускоренного движения:

\[ v = u + at \]

где
\( u \) - начальная скорость (в данном случае 0 м/с, так как камень падает с покоя),
\( a \) - ускорение (9.8 м/с²),
\( t \) - время (10 секунд)

Подставляя значения в формулу, получим:

\[ v = 0 + (9.8 \, \text{м/с²}) \cdot (10 \, \text{с}) = 98 \, \text{м/с} \]

Теперь, зная скорость падения, мы можем рассчитать высоту падения, используя формулу для свободного падения:

\[ h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]

где \( g \) - ускорение свободного падения (9.8 м/с²), \( t \) - время падения (10 секунд)

Подставляя значения, получим:

\[ h = \frac{1}{2} \cdot (9.8 \, \text{м/с²}) \cdot (10 \, \text{с})^2 = 490 \, \text{м} \]

Теперь нам нужно рассчитать массу камня. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии:

\[ \text{потенциальная энергия} = \text{кинетическая энергия} \]

\( \text{потенциальная энергия} = \text{масса} \times g \times h \)
\( \text{кинетическая энергия} = \frac{1}{2} \times \text{масса} \times v^2 \)

Приравнивая эти две энергии и решая уравнение, получим массу камня:

\[ \text{масса} = \frac{2 \times \text{потенциальная энергия}}{v^2} \]

Теперь мы можем рассчитать среднюю плотность планеты. Для этого нам понадобится знать диаметр планеты, который составляет 6800 км.

Объем планеты можно рассчитать с помощью формулы для объема шара:

\[ \text{объем} = \frac{4}{3} \times \pi \times \left( \frac{\text{диаметр}}{2} \right)^3 \]

Подставляя значения, получим:

\[ \text{объем} = \frac{4}{3} \times \pi \times \left( \frac{6800 \times 1000}{2} \right)^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 3400^3 \, \text{м}^3 \]

Теперь, имея значение массы и объема планеты, мы можем рассчитать среднюю плотность, используя формулу:

\[ \text{плотность} = \frac{\text{масса}}{\text{объем}} \]

Подставляя значения, получим:

\[ \text{плотность} = \frac{\frac{2 \times \text{потенциальная энергия}}{v^2}}{\frac{4}{3} \times \pi \times 3400^3} \]