Какова сумма членов второго по седьмой включительно в арифметической прогрессии, где третий и десятый члены равны

Zvezdopad_Na_Gorizonte

44

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться формулой для нахождения суммы членов арифметической прогрессии.

Формула для суммы \(S_n\) первых \(n\) членов арифметической прогрессии имеет вид:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

где \(n\) - количество членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

Мы знаем, что третий член прогрессии \(a_3\) равен 12, а десятый член прогрессии \(a_{10}\) равен 22.

Для нахождения суммы членов от второго до седьмого включительно, нам нужно найти значение \(S_7 - S_1\), так как нас интересует сумма от второго до седьмого члена.

Давайте найдем значения \(a_1\) и \(a_7\).

Используем формулу для нахождения \(a_n\):
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]
где \(d\) - разность прогрессии.

Подставим известные значения:
\[\begin{align*}
a_{10} & = a_1 + (10-1)d\\
22 & = a_1 + 9d
\end{align*}\]

У нас также есть информация о третьем члене:
\[\begin{align*}
a_3 & = a_1 + (3-1)d\\
12 & = a_1 + 2d
\end{align*}\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными. Решим систему уравнений.

Выразим \(a_1\) из первого уравнения:
\[a_1 = 22 - 9d\]

Подставим это значение во второе уравнение:
\[12 = (22 - 9d) + 2d\]

Раскроем скобки:
\[12 = 22 - 7d\]

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону:
\[7d = 10\]

Разделим обе части уравнения на 7:
\[d = \frac{10}{7}\]

Теперь найдем \(a_1\) с помощью найденного значения \(d\):

\[a_1 = 22 - 9\left(\frac{10}{7}\right) = 22 - \frac{90}{7} = 22 - \frac{90}{7} = 22 - \frac{90}{7} = 22 - \frac{90}{7} = 22 - \frac{90}{7} = 22 - \frac{90}{7} = 22 - 12.857142857142858 = 9.142857142857142\]

Теперь мы можем найти сумму \(S_7\) (сумма первых 7 членов прогрессии):
\[S_7 = \frac{7}{2}(a_1 + a_7)\]
\[S_7 = \frac{7}{2}(9.142857142857142 + (9.142857142857142 + 6 \cdot \frac{10}{7}))\]

Рассчитаем последнюю сумму, чтобы найти ответ, который ищет школьник.