Какова сумма коэффициентов в разложении (х+1)^5?

Апельсиновый_Шериф_5934

58

Разложение \((x+1)^5\) можно вычислить с помощью биномиальной формулы. Согласно этой формуле, сумма коэффициентов в разложении будет равна сумме всех коэффициентов каждого члена разложения.

Биномиальная формула имеет вид:
\((a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n}a^0 b^n\),

где \(\binom{n}{k}\) - это биномиальный коэффициент, который можно вычислить как \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

В данном случае, у нас \(a = x\), \(b = 1\) и \(n = 5\).

Применяя биномиальную формулу, получаем:
\((x+1)^5 = \binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{1}x^4 + \binom{5}{2}x^3 + \binom{5}{3}x^2 + \binom{5}{4}x^1 + \binom{5}{5}x^0\).

Теперь, давайте вычислим каждый биномиальный коэффициент и получим сумму коэффициентов:

\(\binom{5}{0} = 1\).
\(\binom{5}{1} = 5\).
\(\binom{5}{2} = 10\).
\(\binom{5}{3} = 10\).
\(\binom{5}{4} = 5\).
\(\binom{5}{5} = 1\).

Подставляем значения в разложение:
\((x+1)^5 = 1 \cdot x^5 + 5 \cdot x^4 + 10 \cdot x^3 + 10 \cdot x^2 + 5 \cdot x + 1\).

Теперь сложим все коэффициенты:
\(1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32\).

Таким образом, сумма коэффициентов в разложении \((x+1)^5\) равна 32.