Какова сумма первых 18 членов арифметической прогрессии (аn), если а4 равен 120 и а15 равен

Медведь

60

Для решения этой задачи нам понадобится формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - последний член.

Мы знаем, что \(a_4 = 120\) и \(a_{15} = ?\). Для начала найдем разность, которая является постоянной для арифметической прогрессии. Для этого используем формулу:

\[d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}\]

Подставим известные значения:

\[d = \frac{a_{15} - a_4}{15 - 1}\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: \(a_{15}\) и \(d\). Решим систему уравнений.

Уравнение 1: \(a_4 = a_1 + 3d\)
Уравнение 2: \(d = \frac{a_{15} - a_4}{15 - 1}\)

Перепишем уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных:

\(a_{15} = a_4 + 14d\) (из уравнения 1)

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\(d = \frac{(a_4 + 14d) - a_4}{15 - 1}\)

Упростим выражение:

\(d = \frac{14d}{14}\)

Теперь можем найти значение d:

\(d = 1\)

Теперь, когда у нас есть значение d, можем найти \(a_1\) по формуле:

\(a_1 = a_4 - 3d\)
\(a_1 = 120 - 3 \cdot 1\)
\(a_1 = 117\)

Теперь можем использовать формулу для нахождения суммы первых 18 членов арифметической прогрессии:

\[S_{18} = \frac{18}{2}(a_1 + a_{18})\]

Подставим известные значения:

\[S_{18} = \frac{18}{2}(117 + (a_1 + 17d))\]

Упростим выражение:

\[S_{18} = 9(117 + (117 + 17 \cdot 1))\]

Решим скобки:

\[S_{18} = 9(117 + 117 + 17)\]

Продолжим вычисления:

\[S_{18} = 9(351)\]

Наконец, решим умножение:

\[S_{18} = 3159\]

Таким образом, сумма первых 18 членов арифметической прогрессии \(S_{18}\) равна 3159.