Какое значение x удовлетворяет уравнению cos3x=-5/3?

Lebed

17

Хорошо, начнем с решения уравнения \(\cos(3x) = -\frac{5}{3}\).

Шаг 1: Используем тригонометрическое тождество для преобразования функции \(\cos(3x)\):
\[\cos(3x) = \cos(180° - 3x)\]
Поскольку косинус является четной функцией, имеем:
\[\cos(3x) = \cos(3x - 180°)\]

Шаг 2: Заменяем \(\cos(3x)\) на \(\cos(3x - 180°)\) в уравнении:
\[\cos(3x - 180°) = -\frac{5}{3}\]

Шаг 3: Нормализуем угол \((3x - 180°)\) к стандартному диапазону инверсных функций косинуса (-180° до 180°). Для этого добавим или вычтем числа к \((3x - 180°)\), чтобы оно попало в этот диапазон.

\((3x - 180°)\) > 180°: Вычтем 360°, чтобы получить угол в диапазоне (-180°, 180°):
\((3x - 180°) - 360° = 3x - 540°\)

\((3x - 180°)\) < -180°: Прибавим 360°, чтобы получить угол в диапазоне (-180°, 180°):
\((3x - 180°) + 360° = 3x + 180°\)

Шаг 4: Решаем уравнение для каждого диапазона угла:

Для \((3x - 180°) \in (-180°, 180°)\):
\[\cos(3x - 180°) = -\frac{5}{3}\]
\[3x - 180° = \arccos\left(-\frac{5}{3}\right)\]

Шаг 5: Решаем получившееся уравнение:
\[3x - 180° = \arccos\left(-\frac{5}{3}\right)\]
\[3x = \arccos\left(-\frac{5}{3}\right) + 180°\]
\[x = \frac{\arccos\left(-\frac{5}{3}\right)}{3} + 60°\]

Таким образом, значение \(x\), удовлетворяющее уравнению \(\cos(3x) = -\frac{5}{3}\), равно \(\frac{\arccos\left(-\frac{5}{3}\right)}{3} + 60°\).