Какова сумма первых 19 членов арифметической прогрессии, если a10=20?

Molniya

43

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

Для начала, нам нужно найти значение первого члена арифметической прогрессии \(a_1\), чтобы мы могли вычислить сумму первых 19 членов прогрессии. Мы знаем, что \(a_{10} = 20\), что означает, что десятый член прогрессии равен 20.

Формула для \(a_n\) в арифметической прогрессии имеет вид:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_n\) - значение n-го члена прогрессии, \(a_1\) - значение первого члена прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, \(d\) - разность между соседними членами прогрессии.

Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти \(a_1\):

\[a_{10} = a_1 + (10-1)d\]
\[20 = a_1 + 9d\]

Теперь у нас есть уравнение с двумя неизвестными (\(a_1\) и \(d\)). Для его решения нам понадобится дополнительная информация.

Поскольку мы хотим найти сумму первых 19 членов прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы \(S_n\) первых n членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]

В данном случае, мы знаем, что \(n = 19\), а также хотим, чтобы сумма первых 19 членов прогрессии была равна \(S_{19}\).

Теперь у нас есть две формулы с двумя неизвестными (\(a_1\) и \(d\)). Нам необходимо решить систему уравнений, состоящую из этих двух уравнений, чтобы найти значения \(a_1\) и \(d\).

Давайте начнем сравнивать коэффициенты при \(d\) в обоих уравнениях:

\[9d = (19/2)(2a_1 + 18d)\]

Раскрывая скобки, получаем:

\[9d = 19a_1 + 171d\]

Теперь можно сгруппировать похожие члены и выразить \(d\) через \(a_1\):

\[171d - 9d = 19a_1\]
\[162d = 19a_1\]
\[d = \frac{19a_1}{162}\]

Теперь, когда мы найдем \(d\) через \(a_1\), мы можем вернуться к уравнению \(20 = a_1 + 9d\) и подставить в него найденное значение \(d\):

\[20 = a_1 + 9 \cdot \frac{19a_1}{162}\]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[20 = a_1 + \frac{171a_1}{162}\]
\[\frac{3240}{162} = \frac{333a_1}{162}\]

Теперь мы можем найти \(a_1\):

\[\frac{20}{\frac{72}{3}} = a_1\]
\[5 = a_1\]

Таким образом, мы нашли значение первого члена прогрессии \(a_1 = 5\) и разности между соседними членами прогрессии \(d = \frac{19}{162}\).

Теперь, когда у нас есть эти значения, мы можем найти сумму первых 19 членов прогрессии \(S_{19}\):

\[S_{19} = \frac{19}{2}(2 \cdot 5 + (19 - 1) \cdot \frac{19}{162})\]
\[S_{19} = \frac{19}{2}(10 + 18 \cdot \frac{19}{162})\]
\[S_{19} = \frac{19}{2}(10 + \frac{342}{162})\]
\[S_{19} = \frac{19}{2}(10 + \frac{19}{9})\]
\[S_{19} = \frac{19}{2}(\frac{90}{9} + \frac{19}{9})\]
\[S_{19} = \frac{19}{2}(\frac{109}{9})\]
\[S_{19} = \frac{19 \cdot 109}{2 \cdot 9}\]
\[S_{19} = \frac{2069}{18}\]
\[S_{19} \approx 114.94\]

Таким образом, сумма первых 19 членов арифметической прогрессии равна примерно 114.94.