Какова сумма первых десяти членов арифметической прогрессии, если третий и шестой члены равны 11 и -4 соответственно?

Таинственный_Маг

58

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу арифметической прогрессии, которая выглядит следующим образом:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_n\) - \(n\)-ый член арифметической прогрессии, \([a_1]\) - первый член арифметической прогрессии и \(d\) - разность прогрессии.

Используя данную информацию, мы можем составить систему уравнений для нашей задачи. Из условия задачи мы знаем, что третий член (\(a_3\)) равен 11 и шестой член (\(a_6\)) равен -4.

Сначала, заменим \(a_3\) и \(a_6\) в соответствующих уравнениях:

\[a_3 = a_1 + 2d = 11\]

\[a_6 = a_1 + 5d = -4\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases} a_1 + 2d = 11 \\ a_1 + 5d = -4 \end{cases}\]

Избавимся от переменной \(a_1\) в этой системе, вычтя второе уравнение из первого:

\[(a_1 + 2d) - (a_1 + 5d) = 11 - (-4)\]

\[-3d = 15\]

Теперь разделим обе части уравнения на -3, чтобы найти значение переменной \(d\):

\[d = \frac{15}{-3} = -5\]

Теперь, когда у нас есть значение \(d\), мы можем найти значение \(a_1\) путем подстановки значений в одно из уравнений:

\[a_1 + 2(-5) = 11\]

\[a_1 - 10 = 11\]

\[a_1 = 11 + 10 = 21\]

Теперь, когда мы знаем первый член (\(a_1\)) и разность (\(d\)), мы можем найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, используя формулу суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, а \(a_n\) - \(n\)-ый член.

В нашем случае, \(n = 10\), поэтому:

\[S_{10} = \frac{10}{2}(a_1 + a_{10})\]

Теперь нам нужно найти \(a_{10}\). Мы знаем, что \(a_{10} = a_1 + (10-1)d\).

Подставляя значения, получим:

\[a_{10} = 21 + (10-1)(-5) = 21 + 9(-5) = 21 - 45 = -24\]

Теперь мы можем подставить значения \(a_1\) и \(a_{10}\) в формулу суммы:

\[S_{10} = \frac{10}{2}(21 + (-24)) = \frac{10}{2}(-3) = 5(-3) = -15\]

Таким образом, сумма первых десяти членов этой арифметической прогрессии равна -15.