Каково значение косинуса угла при вершине в осевом сечении конуса, если площадь основания конуса равна поверхности

Молния

25

Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с определения некоторых важных понятий.

Осевое сечение конуса - это сечение плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение делит конус на две равные части.

Поверхность вписанного в конус шара - это сфера, размещенная внутри конуса таким образом, что ее внутренняя поверхность касается всех боковых граней конуса. Поверхность шара и основание конуса являются равными и образуют тонкое кольцо.

Давайте обозначим решение этой задачи шаг за шагом.

Шаг 1: Представим основание конуса как круг радиусом \(R\). Площадь основания \(S_1\) можно вычислить, используя формулу площади круга \(S_1 = \pi R^2\).

Шаг 2: Пусть радиус шара, вписанного в конус, равен \(r\). Площадь поверхности шара \(S_2\) можно вычислить, используя формулу \(S_2 = 4 \pi r^2\).

Шаг 3: Из условия задачи известно, что площадь основания \(S_1\) равна площади поверхности шара \(S_2\), то есть \(S_1 = S_2\).

Шаг 4: Подставим полученные значения для площадей в уравнение \(S_1 = S_2\), получим \(\pi R^2 = 4 \pi r^2\).

Шаг 5: Сократим обе стороны уравнения на \(\pi\), получим \(R^2 = 4 r^2\).

Шаг 6: Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, получим \(R = 2r\).

Шаг 7: Мы знаем, что косинус угла при вершине в осевом сечении конуса определяется соотношением \(\cos(\theta) = \frac{r}{R}\).

Шаг 8: Подставим значение \(R = 2r\) в уравнение для косинуса, получим \(\cos(\theta) = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}\).

Таким образом, значение косинуса угла при вершине в осевом сечении конуса равно \(\frac{1}{2}\).

Данный решение было подробно и пошагово разобрано, чтобы быть понятным школьнику.