Какова сумма первых пяти членов арифметической прогрессии, если a8 = 4 и d = -1? Какова сумма первых девятнадцати

Николаевна

36

Чтобы найти сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, нужно знать первый член (a1), разность (d) и количество членов (n). В данной задаче, нам уже дано значение восьмого члена (a8) и разность (d).

Шаг 1: Найдем первый член (a1).
Для этого воспользуемся формулой для нахождения элемента прогрессии:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Подставим значения из условия задачи:
\[4 = a_1 + (8-1)(-1)\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[4 = a_1 - 7\]
\[a_1 = 4 + 7 = 11\]

Таким образом, первый член прогрессии равен 11.

Шаг 2: Найдем сумму первых пяти членов прогрессии (S5).
Для этого воспользуемся формулой для нахождения суммы элементов арифметической прогрессии:
\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Подставим значения из условия задачи:
\[S5 = \frac{5}{2}(11 + a_5)\]

Теперь остается найти пятый член прогрессии (a5).
Используем формулу для нахождения элемента прогрессии:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Подставим значения:
\[a_5 = 11 + (5-1)(-1) = 11 + 4(-1) = 11 - 4 = 7\]

Теперь вернемся к формуле для суммы:
\[S5 = \frac{5}{2}(11 + 7)\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[S5 = \frac{5}{2} \cdot 18 = 45\]

Таким образом, сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 45.

Чтобы найти сумму первых девятнадцати членов прогрессии, также нужно знать первый член (a1), разность (d) и количество членов (n). В данной задаче, нам дано значение десятого члена (a10), но не дано значение первого члена.

Поэтому нам сначала нужно найти первый член прогрессии (a1).

Для этого воспользуемся формулой для нахождения элемента прогрессии:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Подставим значения из условия задачи:
\[4 = a_1 + (10-1)(-1)\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[4 = a_1 - 9\]
\[a_1 = 4 + 9 = 13\]

Таким образом, первый член прогрессии равен 13.

Теперь мы знаем значения первого члена, десятого члена и разности, поэтому можем найти сумму первых девятнадцати членов прогрессии (S19).

Для этого воспользуемся формулой для нахождения суммы элементов арифметической прогрессии:
\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Подставим значения из условия задачи:
\[S19 = \frac{19}{2}(13 + a_{19})\]

Остается найти значение девятнадцатого члена прогрессии (a19).

Используем формулу для нахождения элемента прогрессии:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Подставим значения:
\[a_{19} = 13 + (19-1)(-1) = 13 + 18(-1) = 13 - 18 = -5\]

Теперь вернемся к формуле для суммы:
\[S19 = \frac{19}{2}(13 + (-5))\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[S19 = \frac{19}{2} \cdot 8 = 76\]

Таким образом, сумма первых девятнадцати членов прогрессии равна 76.