Какова сумма первых семи членов арифметической прогрессии, по условию второй член которой в два раза больше первого

Lebed_8637

68

Данная задача представляет собой арифметическую прогрессию, где нам известны некоторые условия о членах и необходимо вычислить сумму первых семи членов. Для начала, давайте определим формулу общего члена арифметической прогрессии.

Формула общего члена арифметической прогрессии имеет вид:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - порядковый номер члена прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

В нашей задаче между первым и вторым членами прогрессии имеется удвоение, поэтому можем записать это следующим образом:

\[a_2 = 2a_1\]

Также известно, что четвертый член равен некоторому значению, обозначим его как \(a_4\). Теперь у нас есть два уравнения:

\[a_2 = 2a_1\]
\[a_4 = ?\]

Чтобы найти разность прогрессии, выразим \(a_1\) из первого уравнения:

\[a_1 = \frac{a_2}{2}\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[a_4 = \frac{a_2}{2} + 3d\]

Теперь у нас есть выражение для четвертого члена прогрессии в терминах \(a_2\) и \(d\).

Чтобы найти сумму первых семи членов прогрессии, воспользуемся формулой для суммы n членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]

Где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии.

В нашем случае, нам нужно найти сумму первых семи членов, поэтому подставим \(n=7\) в формулу:

\[S_7 = \frac{7}{2}(2a_1 + 6d)\]

Теперь нам остается только найти значения \(a_1\) и \(d\) для подстановки в формулу суммы. Используя первое уравнение \(a_2 = 2a_1\), подставим \(a_1 = \frac{a_2}{2}\) в формулу для суммы:

\[S_7 = \frac{7}{2}(2\cdot \frac{a_2}{2} + 6d)\]

Осталось только подставить значение \(a_4\) в выражение для \(d\). Получаем:

\[S_7 = \frac{7}{2}(2\cdot \frac{a_2}{2} + 6(a_4 - \frac{a_2}{2}))\]

Таким образом, для полного решения задачи, необходимо найти значения \(a_2\) и \(a_4\). Если вы предоставите значения этих членов, я смогу дать вам окончательный ответ с детальным и обоснованным решением.