а) Каковы значения x, при которых функция y=-x^2+4x равна нулю? б) В каких интервалах функция возрастает или убывает?

Добрый_Ангел

40

а) Чтобы узнать значения x, при которых функция \(y=-x^2+4x\) равна нулю, нужно приравнять \(y\) к нулю и решить уравнение:

\[-x^2+4x=0\]

Для решения этого уравнения, можно сначала вынести общий множитель:

\[x(-x+4)=0\]

Затем мы видим, что уравнение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

\[x=0 \quad \text{или} \quad -x+4=0\]

А теперь решим каждое из этих уравнений отдельно:

Уравнение 1: \(x=0\)

Уравнение 2: \(-x+4=0\)

Переносим -x на другую сторону уравнения:

\[x=4\]

Таким образом, функция \(y=-x^2+4x\) равна нулю при \(x=0\) и \(x=4\).

б) Чтобы определить интервалы, на которых функция \(y=-x^2+4x\) возрастает или убывает, нужно найти производную этой функции и проанализировать ее знаки.

Для этого возьмем производную функции \(y\) по \(x\):

\[\frac{dy}{dx}=-2x + 4\]

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, и определим знак производной в каждом интервале между этими точками.

\[-2x+4=0\]

Переносим 4 на другую сторону уравнения:

\[-2x=-4\]

Делим обе части на -2:

\[x=2\]

Теперь мы имеем единственную точку разрыва в \(x=2\). Мы можем выбрать любую точку слева и справа от этой точки и проверить знак производной в каждом интервале.

Выбираем \(x=1\):

\[\frac{dy}{dx}=-2(1)+4=2 > 0\]

Выбираем \(x=3\):

\[\frac{dy}{dx}=-2(3)+4=-2 < 0\]

Таким образом, функция \(y=-x^2+4x\) возрастает на интервале \((-\infty, 2)\) и убывает на интервале \((2, +\infty)\).

в) Функция \(y=-x^2+4x\) задает квадратичную функцию, которая имеет график в форме параболы. Когда мы подставляем различные значения \(x\), мы можем определить различные значения \(y\).

Чтобы определить, какими значениями может быть функция, мы можем построить график или составить таблицу значений для \(x\) и соответствующих \(y\).

Однако, обратите внимание, что эта функция имеет отрицательный коэффициент перед \(x^2\), поэтому график параболы будет направлен вниз.

Таким образом, значения функции \(y=-x^2+4x\) будут зависеть от выбранного значения \(x\). Функция будет принимать любые отрицательные значения, но при достижении вершины параболы, она будет убывать, так что значения \(y\) будут уменьшаться. При \(x=2\) (координаты вершины параболы) значение \(y\) будет равно 4. После этой точки функция снова будет принимать положительные значения, но они будут убывать.

Таким образом, функция \(y=-x^2+4x\) может принимать значения от \(-\infty\) до 4, не включая 4.