Какова сумма первых семи членов геометрической прогрессии (bn), если b4= 81 и q=-1/3?

Chernaya_Roza

57

Хорошо, чтобы найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bn), мы должны использовать формулу для суммы геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{{b_1 \cdot (1 - q^n)}}{{1 - q}}\]

где:
\(S_n\) - сумма первых \(n\) членов,
\(b_1\) - первый член геометрической прогрессии,
\(q\) - знаменатель прогрессии.

В нашей задаче значение \(b_4 = 81\) и \(q = -\frac{1}{3}\).
Мы хотим найти сумму первых семи членов, поэтому \(n = 7\).

Давайте посчитаем:

\[S_7 = \frac{{b_1 \cdot (1 - q^7)}}{{1 - q}}\]

Мы знаем, что \(q = -\frac{1}{3}\), поэтому:

\[S_7 = \frac{{b_1 \cdot (1 - (-\frac{1}{3})^7)}}{{1 - (-\frac{1}{3})}}\]

Теперь мы можем рассчитать значение \(b_1\). Зная \(b_4 = 81\) и \(q = -\frac{1}{3}\), мы можем использовать формулу для \(b_n\):

\[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]

Подставим значение \(b_4 = 81\) и \(q = -\frac{1}{3}\) в формулу:

\[81 = b_1 \cdot (-\frac{1}{3})^{4-1}\]

Упростим это:

\[81 = b_1 \cdot (-\frac{1}{3})^3\]
\[81 = b_1 \cdot \frac{-1}{27}\]

Мы можем умножить обе стороны на \(-27\) для упрощения выражения:

\[81 \cdot (-27) = b_1 \cdot (-1)\]
\[-2187 = -b_1\]

Теперь мы можем найти \(b_1\):

\[b_1 = \frac{-2187}{-1}\]
\[b_1 = 2187\]

Теперь мы можем рассчитать значение суммы:

\[S_7 = \frac{{2187 \cdot (1 - (-\frac{1}{3})^7)}}{{1 - (-\frac{1}{3})}}\]

Давайте вычислим это:

\[S_7 = \frac{{2187 \cdot (1 - \frac{1}{2187})}}{{1 + \frac{1}{3}}}\]
\[S_7 =\frac{{2187 \cdot \frac{2186}{2187}}}{{\frac{4}{3}}}\]

Мы можем сократить \(\frac{2187}{2187}\):

\[S_7 =\frac{{2186 \cdot 3}}{{4}}\]
\[S_7 =\frac{{6558}}{{4}}\]
\[S_7 = 1639.5\]

Таким образом, сумма первых семи членов геометрической прогрессии равна 1639.5.