Какова сумма площадей всех квадратов, начиная со второго квадрата, вписанных в окружности, в которую вписан первый
Какова сумма площадей всех квадратов, начиная со второго квадрата, вписанных в окружности, в которую вписан первый квадрат со стороной 4 см?
Мороженое_Вампир 57
Для начала, давайте разберемся с условием задачи. У нас есть окружность, в которую вписан первый квадрат со сторонойЧтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим последовательность квадратов, начиная от второго квадрата. Обозначим сторону второго квадрата как
У нас есть очень важное наблюдение: сторона каждого следующего квадрата будет равна диаметру окружности, в которую вписан предыдущий квадрат. Таким образом, сторона второго квадрата равна диаметру окружности первого квадрата, то есть
Теперь мы можем выразить стороны всех квадратов через сторону первого квадрата
Мы знаем, что площадь квадрата равна квадрату его стороны. Таким образом, площадь второго квадрата будет равна
Теперь мы можем выразить площадь каждого квадрата через сторону первого квадрата
Чтобы найти сумму площадей всех квадратов, мы просто должны просуммировать площади каждого отдельного квадрата. Поскольку все квадраты имеют одинаковую площадь
Следовательно, сумма площадей всех квадратов будет выглядеть следующим образом:
где
Итак, сумма площадей всех квадратов будет составлять