Какова сумма всех натуральных чисел, меньших или равных 300, которые не делятся нацело?

Letuchaya_Mysh

51

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод обратного отсчета с помощью арифметической прогрессии и формулы суммы прогрессии, чтобы найти сумму всех чисел.

Первым шагом определим количество чисел, которые меньше или равны 300 и делятся нацело на заданное число. Для этого мы можем найти наибольшее число, меньшее или равное 300, которое делится нацело на это число. Для удобства давайте разделим 300 на заданное число и возьмем целую часть этого частного. Обозначим это число как n.

После этого мы можем использовать формулу для суммы прогрессии \(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\), где \(S_n\) - сумма прогрессии, \(n\) - количество членов, \(a\) - первый член, \(l\) - последний член. В нашем случае, количество чисел \(n\), первый и последний члены равны. Пусть это число будет \(x\).

Итак, сумма всех чисел, меньших или равных 300 и не делящихся нацело на заданное число, можно выразить как \(S = 300 + 299 + \ldots + x\).

Нам остается только найти значение последнего члена \(x\), которое нам известно. Мы можем использовать метод обратного отсчета, чтобы найти его значение.

Таким образом, мы начнем с наибольшего числа, меньшего или равного 300, и не делящегося нацело на заданное число. В данном случае, это число будет равно 299.

Теперь, вычислим сумму всех чисел, меньших 300 и не деляющихся нацело на заданное число:

\[ S = 300 + 299 + \ldots + x = \frac{n}{2}(300 + x) \]

где \( n \) - количество чисел, \( x \) - последнее значение.

Теперь нам надо найти количество членов прогрессии \( n \). Мы можем использовать следующую формулу:
\[ n = \frac{a - l}{d} + 1 \]
где \( a \) - первый член, \( l \) - последний член, \( d \) - разность между членами прогрессии.

В нашем случае, первый член \( a = 300 \) и последний член \( l = x = 299 \). Также разность между членами прогрессии \( d = 1 \).

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[ n = \frac{300 - 299}{1} + 1 = 2 \]

Теперь, подставив \( n \) в формулу для суммы прогрессии, получим:
\[ S = \frac{n}{2}(300 + x) = \frac{2}{2}(300 + 299) = 599 \]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, меньших или равных 300, которые не делятся нацело, равна 599.