Какова сумма всех положительных членов арифметической прогрессии, начинающейся с числа 155 и с шагом 151?

Zimniy_Mechtatel_2552

65

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

В данной задаче у нас есть арифметическая прогрессия, которая начинается с числа 155 и имеет шаг 151. Для нахождения суммы всех положительных членов этой прогрессии, мы должны знать несколько важных формул.

Формула для общего члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - порядковый номер члена прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Формула для суммы членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии.

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

1. Найдем n-ый член прогрессии, зная первый член и разность:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]
\[a_n = 155 + (n-1) \cdot 151\]

2. Теперь нам нужно найти значение n, так как задача просит нас найти сумму всех положительных членов прогрессии.

Мы можем предположить, что сумма всех положительных членов прогрессии будет максимальна, если мы будем прибавлять члены до тех пор, пока значение следующего члена не станет отрицательным.

То есть нам нужно найти такое n, чтобы \(a_n < 0\).

Подставим значение \(a_n\) в формулу:
\[155 + (n-1) \cdot 151 < 0\]
\[155 + 151n - 151 < 0\]
\[151n + 4 < 0\]
\[n < -\frac{4}{151}\]

Значит, мы можем взять целое значение n до -\(\frac{4}{151}\). Ближайшее целое число -1.

Таким образом, сумма всех положительных членов прогрессии будет суммой первого члена и последнего положительного члена, то есть:
\[S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]
\[S_{-1} = \frac{-1}{2} \cdot (155 + a_{-1})\]

Теперь найдем \(a_{-1}\) зная, что \(a_{-1} = a_1 + (-1-1)d\).
Подставим значение \(a_{-1}\) в формулу:
\[a_{-1} = 155 + (-2) \cdot 151\]
\[a_{-1} = 155 - 2 \cdot 151 = -147\]

Теперь можем найти сумму всех положительных членов прогрессии, подставив значения:
\[S_{-1} = \frac{-1}{2} \cdot (155 - 147) = \frac{-1}{2} \cdot 8 = -4\]

Итак, сумма всех положительных членов арифметической прогрессии будет равна -4.