Какова сумма знаменателей бесконечно убывающей прогрессии с элементами 7/8, 1/8, 1/56?

Belochka

4

Чтобы найти сумму знаменателей бесконечно убывающей прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1-r}\]

где \(S\) - сумма прогрессии, \(a\) - первый элемент прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

В данной задаче первый элемент - \(\frac{7}{8}\), а знаменатель \(r\) можно найти путем деления каждого последующего элемента на предыдущий.

Первый элемент: \(a = \frac{7}{8}\)

Второй элемент: \(a_2 = \frac{1}{8}\)

Знаменатель: \(r = \frac{a_2}{a} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}} = \frac{1}{7}\)

Теперь мы можем использовать эту информацию, чтобы найти сумму знаменателей прогрессии:

\[S = \frac{\frac{7}{8}}{1-\frac{1}{7}}\]

Упростив выражение в знаменателе, получим:

\[S = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{6}{7}}\]

Чтобы поделить дроби, мы можем умножить первую дробь на обратное значение второй:

\[S = \frac{7}{8} \cdot \frac{7}{6}\]

Умножив числитель по числителю и знаменатель по знаменателю, получим:

\[S = \frac{49}{48}\]

Таким образом, сумма знаменателей бесконечно убывающей прогрессии равна \(\frac{49}{48}\).