Какова сумма знаменателей бесконечно убывающей прогрессии с элементами 7/8, 1/8, 1/56?

Belochka

4

Чтобы найти сумму знаменателей бесконечно убывающей прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S=\frac{a}{1-r}$$

где $S$ - сумма прогрессии, $a$ - первый элемент прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии.

В данной задаче первый элемент - $\frac{7}{8}$, а знаменатель $r$ можно найти путем деления каждого последующего элемента на предыдущий.

Первый элемент: $a=\frac{7}{8}$

Второй элемент: $a_2=\frac{1}{8}$

Знаменатель: $r=\frac{a_2}{a}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}}=\frac{1}{7}$

Теперь мы можем использовать эту информацию, чтобы найти сумму знаменателей прогрессии:

$$S=\frac{\frac{7}{8}}{1-\frac{1}{7}}$$

Упростив выражение в знаменателе, получим:

$$S=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{6}{7}}$$

Чтобы поделить дроби, мы можем умножить первую дробь на обратное значение второй:

$$S=\frac{7}{8}\cdot \frac{7}{6}$$

Умножив числитель по числителю и знаменатель по знаменателю, получим:

$$S=\frac{49}{48}$$

Таким образом, сумма знаменателей бесконечно убывающей прогрессии равна $\frac{49}{48}$.