Какова связь между объемом погруженной части льда и объемом выступающей над водой части льда, когда кусок льда плавает

Юпитер

21

Для понимания связи между объемом погруженной части льда и объемом выступающей над водой части льда, рассмотрим принцип Архимеда. Принцип Архимеда гласит, что плавающее тело в жидкости испытывает поддерживающую силу, равную весу вытесненной жидкости.

В нашей задаче, кусок льда плавает на поверхности воды. Плотность воды составляет \( \rho_{\text{воды}} \) кг/м³, а плотность льда - \( \rho_{\text{льда}} \) кг/м³.

Обозначим через \( V_{\text{погр}} \) объем погруженной части льда и через \( V_{\text{выст}} \) объем выступающей части льда над водой.

Согласно принципу Архимеда, плавающий кусок льда испытывает поддерживающую силу, равную весу вытесненной им жидкости. В данном случае, вес вытесненной жидкости равен весу объема воды, равного \( V_{\text{погр}} \).

Масса воды (\( m_{\text{воды}} \)), вытесненной куском льда, равна плотности воды умноженной на объем погруженной части льда:

\[ m_{\text{воды}} = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{погр}} \]

Также согласно принципу Архимеда, плавающий кусок льда испытывает вес силы тяжести (\( F_{\text{т}}} \)), равный весу этого куска льда, то есть массе (\( m_{\text{льда}} \)) умноженной на ускорение свободного падения (\( g \)):

\[ F_{\text{т}}} = m_{\text{льда}} \cdot g \]

Поскольку плавающий кусок льда находится на покое, вес силы тяжести должен быть равен поддерживающей силе.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\[ F_{\text{т}}} = m_{\text{воды}} \cdot g \]

\[ m_{\text{льда}} \cdot g = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{погр}} \cdot g \]

\[ m_{\text{льда}} = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{погр}} \]

Масса льда (\( m_{\text{льда}} \)) равна плотности льда (\( \rho_{\text{льда}} \)) умноженной на объем погруженной части льда (\( V_{\text{погр}} \)).

Теперь мы можем проанализировать связь между объемом погруженной части льда (\( V_{\text{погр}} \)) и объемом выступающей над водой части льда (\( V_{\text{выст}} \)).

Общий объем куска льда (\( V_{\text{образца}} \)) равен сумме объема погруженной части (\( V_{\text{погр}} \)) и объема выступающей над водой части (\( V_{\text{выст}} \)):

\[ V_{\text{образца}} = V_{\text{погр}} + V_{\text{выст}} \]

Из уравнения массы льда (\( m_{\text{льда}} \)) получаем:

\[ m_{\text{льда}} = \rho_{\text{льда}} \cdot V_{\text{погр}} = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{погр}} \]

Теперь заменим массу льда в уравнении общего объема куска льда:

\[ \rho_{\text{льда}} \cdot V_{\text{погр}} = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{погр}} + \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{выст}} \]

Выразим объем погруженной части льда:

\[ \rho_{\text{льда}} \cdot V_{\text{погр}} - \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{погр}} = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{выст}} \]

\[ (\rho_{\text{льда}} - \rho_{\text{воды}}) \cdot V_{\text{погр}} = \rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{выст}} \]

Таким образом, мы получаем связь между объемом погруженной части льда (\( V_{\text{погр}} \)) и объемом выступающей над водой части льда (\( V_{\text{выст}} \)):

\[ V_{\text{погр}} = \frac{{\rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{выст}}}}{{\rho_{\text{льда}} - \rho_{\text{воды}}}} \]

Однако, для полнойформулы необходимо знать значение плотности льда и плотности воды (в данной задаче, значение следовало бы вставить).

Итак, связь между объемом погруженной части льда и объемом выступающей над водой части льда определяется формулой:

\[ V_{\text{погр}} = \frac{{\rho_{\text{воды}} \cdot V_{\text{выст}}}}{{\rho_{\text{льда}} - \rho_{\text{воды}}}} \]