Какова температура t0, если после отвода 100 Дж тепла и нагрева газа с закрепленным поршнем давление газа под поршнем

Черешня

46

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта, который устанавливает, что давление идеального газа обратно пропорционально его объему при постоянной температуре. Формула закона Бойля-Мариотта выглядит следующим образом:

\[ P_1V_1 = P_2V_2 \]

Где \( P_1 \) и \( P_2 \) - изначальное и конечное давление газа, а \( V_1 \) и \( V_2 \) - изначальный и конечный объем газа.

В нашей задаче известно, что давление газа под поршнем стало в 1,2 раза выше атмосферного давления. То есть:

\[ P_2 = 1,2P_0 \]

Где \( P_0 \) - атмосферное давление.

Мы также знаем, что горизонтально расположенный поршень свободно перемещается и имеет массу 1 кг и площадь 0,02 м². Поскольку нам известно количество вещества газа (0,1 моль), мы можем использовать идеальный газовый закон, чтобы определить объем газа V при заданной температуре:

\[ PV = nRT \]

Где P - давление газа, V - его объем, n - количество вещества газа, R - универсальная газовая постоянная, а T - температура газа.

Мы также получаем тепло \( Q_0 \), отведенное системой во время нагрева, равное 100 Дж. Тепло \( Q \), отдаваемое системой во время нагрева, можно выразить следующим образом:

\[ Q = nC\Delta T \]

Где C - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, \(\Delta T\) - изменение температуры газа.

Теплоемкость C при постоянном объеме можно найти, используя формулу:

\[ C = \frac{{f}}{{2}}R \]

Где f - количество степеней свободы молекулы газа.

Для одноатомного идеального газа у нас есть только три степени свободы, поэтому:

\[ f = 3 \]

Теперь у нас есть все необходимые формулы для решения задачи. Давайте начнем с определения температуры \( t_0 \).

Мы можем выразить начальное давление \( P_0 \) через атмосферное давление:

\[ P_0 = P_{\text{атмосфера}} \]

Так как газ находится при нормальных условиях, заданных атмосферным давлением, мы можем использовать единицу атмосферного давления:

\[ P_{\text{атмосфера}} = 1 \, \text{атм} = 101325 \, \text{Па} \]

Теперь давайте используем соотношение \( P_1V_1 = P_2V_2 \) для определения начального объема газа \( V_1 \):

\[ P_1V_1 = P_2V_2 \]

Поскольку нагрев происходит при закрепленном поршне, объем газа остается постоянным:

\[ V_1 = V_2 \]

Теперь мы можем записать уравнение следующим образом:

\[ P_1V_1 = P_2V_1 \]

Подставив значения, получим:

\[ P_1 \cdot V_1 = 1,2P_{\text{атмосфера}} \cdot V_1 \]

Сокращая \( V_1 \), получаем:

\[ P_1 = 1,2P_{\text{атмосфера}} \]

Теперь давайте найдем молярную теплоемкость газа при постоянном объеме \( C \):

\[ C = \frac{{3}}{{2}}R \]

\[ C = \frac{{3}}{{2}} \cdot 8,314 \, \text{Дж/моль} \cdot \text{К} \]

\[ C = 12,471 \, \text{Дж/моль} \cdot \text{К} \]

Теперь мы можем записать выражение для тепла \( Q \), использованного при нагреве газа:

\[ Q_0 = nC\Delta T \]

\[ 100 = 0,1 \cdot 12,471 \cdot \Delta T \]

\[ \Delta T = \frac{{100}}{{0,1 \cdot 12,471}} \]

\[ \Delta T \approx 80,31 \, \text{К} \]

Теперь мы можем определить конечную температуру \( t_f \) после нагрева:

\[ t_f = t_0 + \Delta T \]

\[ t_f = t_0 + 80,31 \]

Наконец, мы знаем, что объем идеального газа не изменился, поэтому мы можем использовать уравнение состояния идеального газа, чтобы определить новое исходное давление \( P_1 \):

\[ P_1 = \frac{{nRT}}{{V_1}} \]

\[ P_1 = \frac{{0,1 \cdot 8,314 \cdot t_f}}{{V_1}} \]

Теперь мы можем заменить \( P_1 \) в уравнении \( P_1 = 1,2P_{\text{атмосфера}} \), чтобы найти начальную температуру \( t_0 \):

\[ \frac{{0,1 \cdot 8,314 \cdot t_f}}{{V_1}} = 1,2P_{\text{атмосфера}} \]

\[ t_0 = \frac{{1,2P_{\text{атмосфера}} \cdot V_1}}{{0,1 \cdot 8,314}} \]

Подставим значение \( P_{\text{атмосфера}} = 101325 \, \text{Па} \) и \( V_1 = 0,02 \, \text{м}^2 \):

\[ t_0 = \frac{{1,2 \cdot 101325 \cdot 0,02}}{{0,1 \cdot 8,314}} \]

\[ t_0 \approx 291,037 \, \text{K} \]

Таким образом, начальная температура \( t_0 \), до того как было отведено 100 Дж тепла и газ был нагрет с закрепленным поршнем, составляет около 291,04 Кельвина.