Как связаны между собой время, в которое пуля поднимается вверх, и время полета, когда пуля достигает поверхности?

Zagadochnyy_Kot

59

Чтобы понять, как связаны между собой время подъема пули и время полета до поверхности, рассмотрим движение пули под действием силы тяжести. Пуля выпускается с начальной скоростью \(v_0\) под углом \(\varphi\) к горизонту.

Первым шагом необходимо разложить начальную скорость пули на горизонтальную \(v_{0x}\) и вертикальную \(v_{0y}\) составляющие. Горизонтальная составляющая скорости не меняется со временем и равна \(v_{0x} = v_0 \cdot \cos\varphi\), где \(v_0\) - начальная скорость пули, а \(\varphi\) - угол между начальной скоростью и горизонтом.

Вертикальная составляющая скорости меняется под воздействием силы тяжести на следующем промежутке времени. Заметим, что время подъема пули вверх и время полета до поверхности будут равными, если полет пули сначала вверх и потом вниз занимает одинаковое время. Таким образом, мы можем разделить полет пули на две фазы: полет вверх и полет вниз.

В фазе подъема пули вверх, вертикальная составляющая скорости будет уменьшаться со временем под воздействием силы тяжести, пока не достигнет нуля. Для определения времени подъема пули вверх нам понадобится закон сохранения энергии. Начальная кинетическая энергия пули \(K_0\) преобразуется в потенциальную энергию \(U_1\) на максимальной высоте \(H_{\text{max}}\), где пуля находится в покое, и равна нулю на поверхности (так как высота поверхности равна нулю). Запишем это математическое выражение:

\[
K_0 = U_1 = m \cdot g \cdot H_{\text{max}}
\]

Где \(m\) - масса пули, \(g\) - ускорение свободного падения, \(H_{\text{max}}\) - максимальная высота пули при подъеме. Кинетическая энергия пули равна

\[
K_0 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2
\]

Подставим это значение в равенство сохранения энергии и выразим максимальную высоту \(H_{\text{max}}\):

\[
\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 = m \cdot g \cdot H_{\text{max}}
\]

Сократим массу пули \(m\) и решим уравнение относительно максимальной высоты \(H_{\text{max}}\):

\[
H_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2g}
\]

Мы получили выражение для максимальной высоты пули при подъеме.

Теперь перейдем к фазе полета пули вниз. Поскольку время полета вверх и вниз одинаковы, полное время полета до поверхности будет равно удвоенному времени подъема:

\[
t_{\text{полета}} = 2 \cdot t_{\text{подъема}}
\]

Чтобы определить горизонтальную дальность полета пули, нам нужно знать горизонтальную скорость пули \(v_x\), которая сохраняется в течение всего полета. Так как \(v_x = v_{0x}\), то

\[
v_x = v_0 \cdot \cos\varphi
\]

Теперь мы можем определить горизонтальную дальность полета \(R\) как произведение горизонтальной скорости пули на время полета:

\[
R = v_x \cdot t_{\text{полета}}
\]

Подставим значение для времени полета:

\[
R = v_0 \cdot \cos\varphi \cdot 2 \cdot t_{\text{подъема}}
\]

Используем выражение для максимальной высоты \(H_{\text{max}}\) и выразим время подъема:

\[
t_{\text{подъема}} = \frac{H_{\text{max}}}{v_{0y}} = \frac{H_{\text{max}}}{v_0 \cdot \sin\varphi}
\]

Подставим это значение обратно в формулу для горизонтальной дальности \(R\):

\[
R = v_0 \cdot \cos\varphi \cdot 2 \cdot \frac{H_{\text{max}}}{v_0 \cdot \sin\varphi}
\]

Упростим выражение и сократим \(v_0\):

\[
R = 2 \cdot \cos\varphi \cdot \frac{H_{\text{max}}}{\sin\varphi}
\]

Теперь мы можем определить угол \(\varphi\), при котором достигается наибольшая горизонтальная дальность. Чтобы найти максимум этой функции, возьмем производную и приравняем ее к нулю:

\[
\frac{dR}{d\varphi} = 2 \cdot \frac{(-\sin\varphi \cdot (-\sin\varphi)) - (\cos\varphi \cdot \cos\varphi)}{\sin^2\varphi} = 0
\]

Упростим это выражение и решим уравнение:

\[
\frac{2 \cdot \sin\varphi \cdot \cos\varphi}{\sin^2\varphi} = 0
\]

Данное уравнение имеет два решения: \(\varphi = 0\) и \(\varphi = 90^\circ\). Однако, физический смысл этого вопроса предполагает, что угол \(\varphi\) должен быть между 0 и 90 градусами.

Таким образом, при каком угле \(\varphi\) достигается наибольшая горизонтальная дальность полета пули? Ответ: при \(\varphi = 45^\circ\).

Надеюсь, этот пошаговый разбор и объяснение помогли вам понять связь между временем подъема пули и временем полета до поверхности, а также определить угол \(\varphi\) для наибольшей горизонтальной дальности полета пули. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!