Какова толщина льдины, если на нее стоит человек массой 80 кг, она плавает в воде и начинает колебаться с периодом

Огонь

31

Чтобы найти толщину льдины, нам потребуется воспользоваться законом Архимеда и формулой для периода колебаний математического маятника.

Закон Архимеда гласит, что плавающее тело в жидкости испытывает всплывающую силу, равную весу вытесненной этим телом жидкости. Формула для всплывающей силы выглядит следующим образом:

\[ F = \rho \cdot V \cdot g \]

где \( F \) - всплывающая сила, \( \rho \) - плотность жидкости, \( V \) - объем вытесненной жидкости, \( g \) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с^2).

В данной задаче мы знаем, что вес человека равен \( m \cdot g \), где \( m \) - масса человека (равна 80 кг), а \( g \) - ускорение свободного падения. Также мы знаем, что вес человека равен всплывающей силе:

\[ m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g \]

Отсюда можно выразить объем вытесненной жидкости:

\[ V = \frac{m}{\rho} \]

Так как площадь верхней поверхности льдины составляет 1 квадратный метр, а плотность льда равна 900 кг/м^3, то объем льдины равен:

\[ V_{\text{льдины}} = \text{Площадь} \times \text{Толщина} = 1 \times \text{Толщина} \]

Теперь подставим это значение в выражение для объема вытесненной жидкости:

\[ V = \frac{m}{\rho} = \frac{m}{900} \]

Так как всплывающая сила равна весу человека и вытеснена жидкость, она также играет роль силы, возвращающей льдину к исходному положению, когда она переворачивается после колебаний.

Формула для периода колебаний математического маятника возвращения выглядит следующим образом:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{Mg}} \]

где \( T \) - период колебаний, \( I \) - момент инерции льдины, \( M \) - масса льдины, \( g \) - ускорение свободного падения.

Момент инерции льдины можно выразить как:

\[ I = \frac{1}{12}Mh^2 \]

где \( h \) - высота льдины (толщина).

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ V = \frac{m}{900} \]

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}Mh^2}{Mg}} \]

Мы можем решить второе уравнение относительно \( h \):

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{12}h^2}{g}} \]

\[ T^2 = 4\pi^2 \frac{\frac{1}{12}h^2}{g} \]

\[ T^2 = \frac{\pi^2h^2}{3g} \]

\[ h^2 = \frac{3gT^2}{\pi^2} \]

\[ h = \sqrt{\frac{3gT^2}{\pi^2}} \]

Теперь мы можем подставить значение для \( V \) из первого уравнения и решить его относительно \( h \):

\[ V = 1h \]

\[ \frac{m}{900} = 1h \]

\[ h = \frac{m}{900} \]

Подставим выражение для \( h \) во второе уравнение:

\[ h = \sqrt{\frac{3gT^2}{\pi^2}} \]

\[ \frac{m}{900} = \sqrt{\frac{3gT^2}{\pi^2}} \]

Возведем это уравнение в квадрат и решим его относительно \( h \):

\[ \left(\frac{m}{900}\right)^2 = \frac{3gT^2}{\pi^2} \]

\[ h^2 = \frac{3gT^2}{\pi^2} \]

\[ h = \sqrt{\frac{3gT^2}{\pi^2}} \]

Теперь мы можем подставить значения в уравнение:

\[ h = \sqrt{\frac{3 \cdot 9.8 \cdot (2)^2}{\pi^2}} \]

\[ h = \sqrt{\frac{58.8}{\pi^2}} \]

\[ h \approx 4.29 \, \text{см} \]

Толщина льдины составляет примерно 4.29 см.