Какова угловая скорость барабана в момент времени t = 3 c, если груз 1 поднимается с лебедки 2 и его закон движения

Молния

46

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем производную \(S"(t)\) от уравнения \(S = 2 + 8t^2\) по времени \(t\). Производная показывает скорость изменения функции по времени.
2. Выразим угловую скорость \(\omega\) через производную \(S"(t)\) и радиус барабана \(R\). Исходя из геометрических соображений, угловая скорость связана со скоростью по вертикали следующим образом: \(\omega = \frac{{S"(t)}}{R}\).
3. Подставим значение времени \(t = 3\) секунды в производную \(S"(t)\), чтобы найти скорость на момент времени \(t = 3\) секунды.
4. Делим найденное значение производной на радиус барабана \(R\) для определения угловой скорости.

Давайте последовательно выполним эти шаги.

1. Найдем производную \(S"(t)\) функции \(S(t)\):
\[S(t) = 2 + 8t^2\]
\[S"(t) = 16t\]

2. Теперь выразим угловую скорость \(\omega\) через производную \(S"(t)\) и радиус барабана \(R\):
\[\omega = \frac{{S"(t)}}{R}\]

3. Подставим значение времени \(t = 3\) секунды в производную \(S"(t)\):
\[S"(3) = 16 \cdot 3 = 48 \text{ см/с}\]

4. Теперь найдем угловую скорость \(\omega\) на момент времени \(t = 3\) секунды:
\[\omega = \frac{{S"(3)}}{R} = \frac{{48}}{23} \approx 2.09 \text{ рад/с (с точностью до десятых)}\]

Таким образом, угловая скорость барабана в момент времени \(t = 3\) секунды составляет приблизительно 2.09 рад/с.