Какова упрощённая форма дроби (х-18√(х+81))/(х-81)?

Луна

9

Для начала решим данную задачу шаг за шагом. Итак, у нас есть дробь \(\frac{{x - 18\sqrt{{x + 81}}}}{{x - 81}}\). Чтобы упростить ее, мы можем начать с поиска общего множителя для числителя и знаменателя.

Выражение \(x - 18\sqrt{{x + 81}}\) не имеет явного общего множителя с \(x - 81\), поэтому мы можем попробовать умножить числитель и знаменатель на сопряженное значение.
Сопряженным значением \(\sqrt{{x + 81}}\) является \(-\sqrt{{x + 81}}\).

Мы можем использовать свойство конъюгации для упрощения дроби. Если умножить числитель и знаменатель на сопряженное значение, то это не изменит значения дроби и поможет избавиться от иррациональности под корнем в числителе.

Итак, умножим числитель и знаменатель на \(-\sqrt{{x + 81}}\):
\[
\frac{{(x - 18\sqrt{{x + 81}}) \cdot (-\sqrt{{x + 81}})}}{{(x - 81) \cdot (-\sqrt{{x + 81}})}}
\]

Распространяя скобки и упрощая выражение, получим:
\[
\frac{{(x \cdot (-\sqrt{{x + 81}})) - (18\sqrt{{x + 81}} \cdot (-\sqrt{{x + 81}}))}}{{(x - 81) \cdot (-\sqrt{{x + 81}})}}
\]

В числителе первый член превращается в \(-x\sqrt{{x + 81}}\), а второй член в \(18^2 \cdot (x + 81)\), то есть \(324(x + 81)\).
\[
\frac{{-x\sqrt{{x + 81}} - 324(x + 81)}}{{(x - 81) \cdot (-\sqrt{{x + 81}})}}
\]

Далее упростим числитель и знаменатель. В числителе у нас есть два слагаемых, так что мы можем их объединить:
\[
\frac{{-x\sqrt{{x + 81}} - 324x - 324 \cdot 81}}{{(x - 81) \cdot (-\sqrt{{x + 81}})}}
\]

Объединяя слагаемые, получим:
\[
\frac{{-x\sqrt{{x + 81}} - 324x - 26244}}{{(x - 81) \cdot (-\sqrt{{x + 81}})}}
\]

Теперь разделим на -1, чтобы сделать знак числителя положительным:
\[
\frac{{x\sqrt{{x + 81}} + 324x + 26244}}{{(x - 81) \cdot \sqrt{{x + 81}}}}
\]

И это будет нашим окончательным ответом. Упрощенная форма данной дроби:
\[
\frac{{x\sqrt{{x + 81}} + 324x + 26244}}{{(x - 81) \cdot \sqrt{{x + 81}}}}
\]