Какова величина двугранного угла при ребре ab в тетраэдре abcd, если известны длины ребер: ab = 14, dc = 8, ac

Ящерка

39

Без проблем! Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему косинусов. Посмотрите на рисунок ниже:

\[
\begin{array}{cccc}
& & & a \\
& \underline{\quad ab=14\quad} & & \\
& & & \vert \\
& & & \vert \\
b & ----------- & d \\
& & & \vert \\
& & & \vert \\
& \underline{\quad dc=8\quad} & & \\
& & & c
\end{array}
\]

Первым шагом найдем длину ребра bd. Известно, что ad = bd = 9. Зная это, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти bd:

\[
bd = \sqrt{{ab}^2 - {ad}^2} = \sqrt{{14}^2 - {9}^2} = \sqrt{196 - 81} = \sqrt{115} \approx 10.72
\]

Теперь, имея длины ребер ab, ac и bd, мы можем использовать теорему косинусов, чтобы найти угол между ребром ab и плоскостью abcd. Этот угол будет являться ответом на задачу. Обозначим этот угол как A:

\[
\cos A = \frac{{ac}^2 + {bd}^2 - {ab}^2}{{2 \cdot ac \cdot bd}}
\]

Подставляем известные значения:

\[
\cos A = \frac{{9}^2 + {(\sqrt{115})}^2 - {14}^2}{{2 \cdot 9 \cdot \sqrt{115}}}
\]

Упрощаем:

\[
\cos A = \frac{81 + 115 - 196}{18 \sqrt{115}} = \frac{0}{18 \sqrt{115}} = 0
\]

Мы получили, что косинус угла A равен 0. Это означает, что угол A является прямым углом, то есть двугранный угол при ребре ab равен 90 градусов.

Надеюсь, что это решение понятно для вас. Удачи вам на контрольной работе!