Какова величина индукции магнитного поля, при которой максимальная сила, действующая на прямолинейный проводник длиной

Yak_9053

36

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать закон Био-Савара-Лапласа, который позволяет вычислить магнитное поле в точке P, находящейся на расстоянии r от прямолинейного проводника с током.

Закон Био-Савара-Лапласа имеет вид:
\[
\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I\vec{dl}\times\vec{r}}{r^3}
\],
где
\(\vec{B}\) - магнитное поле,
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м}/\text{А}\)),
\(\vec{dl}\) - элемент длины проводника,
\(\vec{r}\) - радиус-вектор, направленный из элемента длины проводника в точку, в которой мы исследуем магнитное поле,
\(r\) - расстояние от элемента длины проводника до точки P,
\(I\) - сила тока в проводнике.

Теперь найдем максимальную силу, действующую на прямолинейный проводник. Эта сила будет максимальной, когда проводник будет параллелен магнитному полю. В таком случае, максимальная сила имеет следующий вид:
\[F_{\text{max}} = B \cdot I \cdot l\],
где
\(F_{\text{max}}\) - максимальная сила,
\(B\) - индукция магнитного поля,
\(I\) - сила тока в проводнике,
\(l\) - длина проводника.

Теперь, заменив \(B\) на выражение из закона Био-Савара-Лапласа, получим:
\[F_{\text{max}} = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I \cdot dl \times r}{r^3} \cdot I \cdot l\].
Объединяя константы и упрощая выражение, получим:
\[F_{\text{max}} = \frac{\mu_0 \cdot I^2 \cdot l \cdot dl \times r}{4\pi \cdot r^3}\].

Так как мы ищем величину индукции магнитного поля, при которой максимальная сила равна данной, упрощаем выражение:
\[B = \frac{F_{\text{max}} \cdot 4\pi \cdot r^3}{\mu_0 \cdot I^2 \cdot l \cdot dl \times r}\].

Теперь рассмотрим элементарный проводник длины \(dl\). Для него длина (\(l\)) и ток (\(I\)) будут постоянными, а сила тока (\(dl\)) будет зависеть от длины проводника (\(L\)) и силы тока в нем (\(I\)). Таким образом, \(dl = \frac{L}{l} \cdot I\).

Подставляем полученное выражение для \(dl\) в формулу \(B\):
\[B = \frac{F_{\text{max}} \cdot 4\pi \cdot r^3}{\mu_0 \cdot I^2 \cdot l \cdot \frac{L}{l} \cdot I \cdot r}\].
Упрощаем выражение:
\[B = \frac{F_{\text{max}} \cdot 4\pi \cdot r^3 \cdot l}{\mu_0 \cdot I^2 \cdot L \cdot r}\].

Таким образом, величина индукции магнитного поля при максимальной силе равна:
\[B = \frac{F_{\text{max}} \cdot 4\pi \cdot r^3 \cdot l}{\mu_0 \cdot I^2 \cdot L \cdot r}\].

Обратите внимание, что величина индукции магнитного поля зависит от длины проводника (\(L\)), его силы тока (\(I\)), расстояния до проводника (\(r\)), длины проводника (\(l\)), и максимальной силы (\(F_{\text{max}}\)), действующей на проводник. Для получения конкретного численного значения, вам необходимо знать все эти величины. Также обратите внимание на то, что величина индукции магнитного поля будет выражена в теслах (Тл).