Какова величина отношения периметра правильного треугольника к окружности, вписанной в него, если радиус окружности

Ledyanoy_Serdce

20

Для начала, определим, что такое правильный треугольник. Правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны 60 градусам.

Окружность, вписанная в треугольник, касается всех трех сторон треугольника и является внутренней окружностью с центром в точке пересечения биссектрис треугольника.

Окружность, описанная вокруг треугольника, касается всех трех вершин треугольника и является описанной окружностью с центром в центре треугольника.

По условию задачи, нам дан радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Давайте обозначим его как \(R\).

Теперь рассмотрим ситуацию, где известен радиус описанной окружности. Найдем сторону треугольника.

Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра окружности до любой из вершин треугольника. Кроме того, известно, что радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности.

Так как в окружности радиус \(R\) является высотой треугольника, проведенной из вершины до основания, то высоту можно найти, умножив радиус \(R\) на \(\sqrt{3}\).

Далее, для определения стороны треугольника воспользуемся теоремой Пифагора. Пусть сторона треугольника равна \(a\). Тогда, используя высоту \(h = R\sqrt{3}\), можно записать следующее соотношение:

\[a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + (R\sqrt{3})^2\]
\[a^2 = \frac{a^2}{4} + 3R^2\]
\[a^2 - \frac{a^2}{4} = 3R^2\]
\[\frac{3a^2}{4} = 3R^2\]
\[a^2 = 4R^2\]
\[a = 2R\]

Таким образом, сторона треугольника равна \(2R\).

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, достаточно сложить все три стороны:

\[P = 2R + 2R + 2R = 6R\]

Следовательно, периметр треугольника составляет 6 раз радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Отношение периметра треугольника к окружности составляет:

\[\frac{P}{2\pi R} = \frac{6R}{2\pi R} = \frac{6}{2\pi} \approx 0.9549\]

Ответ: Величина отношения периметра правильного треугольника к окружности, вписанной в него, равна примерно 0.9549.