Какова величина угла В в прямоугольном треугольнике АВС, где угол С прямой и проведена высота CD? Известно, что DA

Солнечный_Зайчик

60

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольного треугольника.

Дано: DA = 12, AC = 24.

1. Построим прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой и проведена высота CD.

[вставить картинку прямоугольного треугольника ABC с высотой CD]

2. Используем теорему Пифагора для нахождения стороны AB:

\[AB^2 = AC^2 - BC^2\]

Так как угол C прямой, то сторона AC является гипотенузой.

Подставляем известные значения:

\[AB^2 = 24^2 - BC^2\]

3. Нам дано, что DA = 12. Так как высота CD является перпендикуляром к основанию AB, то треугольники ACD и BCD подобны прямоугольному треугольнику ABC.

Это означает, что соотношение сторон в этих треугольниках будет одинаковым:

\[\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{AC}\]

Подставляем известные значения:

\[\frac{24}{AB} = \frac{BC}{24}\]

Теперь мы можем выразить сторону BC через сторону AB:

\[BC = \frac{AB}{24} \cdot 24\]

4. Подставляем значение BC в уравнение из пункта 2:

\[AB^2 = 24^2 - \left(\frac{AB}{24} \cdot 24\right)^2\]

Решаем это уравнение.

\[AB^2 = 24^2 - AB^2\]

\[2AB^2 = 24^2\]

\[AB^2 = \frac{24^2}{2}\]

\[AB^2 = 288\]

\[AB = \sqrt{288}\]

\[AB = 12\sqrt{2}\]

5. Так как угол B прямой, то тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AB):

\[\tan(B) = \frac{BC}{AB}\]

Подставляем известные значения:

\[\tan(B) = \frac{\frac{AB}{24} \cdot 24}{AB}\]

Упрощаем:

\[\tan(B) = \frac{\cancel{AB}}{24} \cdot \cancel{AB}\]

\[\tan(B) = \frac{AB}{24}\]

Подставляем значение AB:

\[\tan(B) = \frac{12\sqrt{2}}{24}\]

Упрощаем:

\[\tan(B) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

6. Чтобы найти значение угла B, возьмем обратный тангенс отношения противолежащего и прилежащего катетов:

\[B = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]

Используя калькулятор, получим:

\[B \approx 45^\circ\]

Таким образом, величина угла B в прямоугольном треугольнике ABC равна приблизительно 45 градусов.