Каков объем треугольной призмы, вокруг которой описан цилиндр? Основание призмы - прямоугольный треугольник с острым

Маня

15

Для решения этой задачи, нам потребуется некоторое количество геометрических знаний. Давайте начнем с построения схематического рисунка для лучшего понимания ситуации.

1. Построение основания призмы:
- Нам дан прямоугольный треугольник с острым углом 30°.
- Предположим, что длина большего катета (сторона, противолежащая прямому углу) равна a, а длина меньшего катета равна b.
- Тогда для удобства обозначения длина гипотенузы равна c.
- По определению синуса и косинуса, мы знаем, что \(\sin 30° = \frac{1}{2}\) и \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
- Используя эти формулы, мы можем выразить a, b и c в терминах одной из них, например, a.
- Таким образом, получаем a = 2c, b = c\(\sqrt{3}\) и c = \(\frac{a}{2}\).
- Мы можем взять любое значение для a, например, a = 4 см.

2. Построение цилиндра:
- Мы знаем, что радиус цилиндра равен 70 см.
- Радиус цилиндра совпадает с радиусом описанной окружности.
- Таким образом, радиус описанной окружности равен 70 см.

3. Решение задачи:
- Объем призмы можно выразить как произведение площади основания (прямоугольного треугольника) на высоту.
- Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot b\).
- Высота призмы примем равной высоте цилиндра, т.к. они описаны друг вокруг друга.
- Тогда объем призмы равен \(V_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot h\).
- Чтобы найти высоту h, нам нужно рассмотреть треугольник, образованный основанием призмы и радиусом цилиндра.
- Используя свойства геометрических фигур, мы можем вывести формулу для h.
- Учитывая, что основание призмы это прямоугольный треугольник, высоту можно рассчитать, используя формулу \(h = \frac{2r}{\sqrt{3}}\), где r - радиус цилиндра.
- Подставляя полученные значения, получаем \(h = \frac{2 \cdot 70}{\sqrt{3}}\) см.
- Заменяя все значения в формулу для объема призмы, получаем \(V_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{2 \cdot 70}{\sqrt{3}}\) см³.
- Упрощая выражение, получаем \(V_1 = 560\) см³.

Таким образом, объем треугольной призмы, вокруг которой описан цилиндр, равен 560 см³. Пожалуйста, обратите внимание, что значения могут отличаться в зависимости от выбранных исходных данных. Надеюсь, что объяснение решения было понятным и информативным. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать.