Какова вероятность, что более одна из трех приобретенных лампочек окажется неисправной, если вероятность брака лампочки

Skvorec

23

Для решения данной задачи воспользуемся понятием биномиального распределения.

Пусть событие А заключается в том, что из трех приобретенных лампочек ровно одна из них окажется неисправной. Исходя из условия задачи, вероятность того, что лампочка окажется неисправной, равна 0,1.

Зная вероятность события А, мы можем рассчитать вероятность противоположного к нему события, обозначим его как В. Событие В заключается в том, что из трех приобретенных лампочек ни одна или все три окажутся неисправными.

Для решения задачи нам понадобится формула биномиального распределения:
\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

Где:
- \(P(X = k)\) - вероятность того, что из n экспериментов k окажутся успешными (в нашем случае, что из трех лампочек одна окажется неисправной)
- \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k (комбинаторный коэффициент)
- \(p\) - вероятность наступления события (вероятность брака лампочки)
- \(n\) - общее число экспериментов (количество приобретенных лампочек)

Теперь рассчитаем вероятность события А, то есть, что только одна из трех лампочек окажется неисправной:
\[P(X = 1) = C_3^1 \cdot 0,1^1 \cdot (1 - 0,1)^{3 - 1}\]

Вычислим числитель:
\[C_3^1 = \frac{3!}{1! \cdot (3-1)!} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 1} = 3\]

Подставим значения в формулу и упростим:
\[P(X = 1) = 3 \cdot 0,1 \cdot 0,9^2 = 0,27\]

Таким образом, вероятность того, что ровно одна из трех приобретенных лампочек окажется неисправной, равна 0,27.

Однако, в задаче нас интересует вероятность более одной неисправной лампочки, то есть события B.

Для решения данной задачи посчитаем вероятность, что ни одна или все три лампочки окажутся неисправными.

Вероятность события, что из трех лампочек ни одна неисправна, можно рассчитать по формуле \(P(X = 0)\):
\[P(X = 0) = C_3^0 \cdot 0,1^0 \cdot (1 - 0,1)^{3 - 0} = 0,9^3 = 0,729\]

Вероятность события, что из трех лампочек все три неисправны, можно рассчитать по формуле \(P(X = 3)\):
\[P(X = 3) = C_3^3 \cdot 0,1^3 \cdot (1 - 0,1)^{3 - 3} = 0,1^3 = 0,001\]

Теперь найдем вероятность события В, то есть, что более одна из трех лампочек окажется неисправной, используя формулу \(P(X > 1)\):
\[P(X > 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 3) = 1 - 0,729 - 0,27 - 0,001 = 0,000\]

Таким образом, вероятность того, что более одна из трех приобретенных лампочек окажется неисправной, равна 0.