Какова вероятность, что из 100 студентов потока не смогут представить контрольные работы в срок: а) 30 студентов

Ignat

54

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется знание комбинаторики и теории вероятностей. Перед тем как перейти к решению, давайте определимся с некоторыми предположениями и условиями задачи:

1) Мы предполагаем, что каждый студент независимо от других может или не может представить контрольную работу в срок.
2) Вероятность того, что студент не представит работу в срок, одинакова для всех студентов.
3) Заданное количество студентов (100) является полной группой, и нам неизвестно, сколько студентов могут представить работу в срок.

Теперь перейдем к решению задачи:

а) Какова вероятность, что из 100 студентов не смогут представить контрольные работы в срок 30 студентов?

Для каждого студента имеется два возможных исхода: представит работу в срок или не представит работу в срок. Поскольку вероятность одинакова для всех студентов, мы можем использовать биномиальное распределение.

Формула для биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k}\]

где:
- \(P(X = k)\) - вероятность того, что из \(n\) испытаний произойдет ровно \(k\) успешных результатов
- \(C_n^k\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\)
- \(p\) - вероятность успеха в каждом отдельном испытании (т.е. не предоставление работы в срок)
- \(n\) - общее количество испытаний (т.е. количество студентов)

В этом случае, \(k = 30\), \(n = 100\), и \(p\) - вероятность того, что студент не представит работу в срок. Чтобы найти \(p\), мы должны знать число студентов, которые предоставили работы в срок. Допустим, предоставили 70 студентов, тогда:

\[p = \frac{70}{100} = 0.7\]

Теперь мы можем подставить все значения в формулу биномиального распределения:

\[P(X = 30) = C_{100}^{30} \times 0.7^{30} \times (1-0.7)^{100-30}\]

Мы можем вычислить это значение, используя сочетания и степени в калькуляторе или в программе для научных расчетов, например. Или я могу сразу вычислить это значение для вас, если вы хотите.

б) Какова вероятность того, что из 100 студентов не смогут представить контрольные работы в срок от 30 до 48 студентов?

Чтобы найти вероятность, нам нужно просуммировать вероятности от 30 до 48. Это может быть сложной задачей, так как включает в себя большое количество слагаемых. Я предлагаю использовать вместо этого метод дополнения.

Мы уже знаем вероятность того, что 30 студентов не представят работы в срок. Давайте найдем вероятность того, что больше 48 студентов не представят работы в срок и вычтем это значение из 1.

Таким образом, если \(F\) - функция вероятности, то:

\[P(30 \leq X \leq 48) = 1 - P(X < 30) - P(X > 48) = 1 - \sum_{k=0}^{29} P(X = k) - \sum_{k=49}^{100} P(X = k)\]

Мы также можем использовать формулу биномиального распределения для каждого значения и просуммировать результаты.

Не стесняйтесь задавать вопросы, если что-то не ясно или если вам нужно пояснение по какой-либо части решения.